Question

Determinar dois números reais cuja diferença seja 40 e cujo produto seja mínimo.

Answer 1

Olá, Fabiana.

Chamemos os dois números de $x$ e $y.$

$x-y=40\Rightarrow y = x - 40$

Minimizar o produto $xy$ é o mesmo que minimizar:

$xy= x(x - 40) = x^2 - 40x$

$x^2 - 40x$ é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois o coeficiente do termo $x^2$ é positivo (igual a 1).

O valor mínimo de $x,$ portanto, é a abscissa do vértice desta parábola, ou seja:

$x_{\text{v\'ertice}}= -\frac{b}{2a}=-\frac{-40}2=20\\\\ y = x- 40=20-40\Rightarrow y=-20$

Os valores de $x$ e $y$ que minimizam o produto $xy$ são, portanto:

$\boxed{x=20\text{ e }y=-20}$