Question

Um arame de 60m de comprimento vai ser cortado em dois pedaços. Com um deve-se fazer um círculo, e com o outro, um triângulo equilátero. Onde devemos cortar o arame de modo que a soma das áreas do círculo e do triângulo seja: - máxima; - mínima.

Answer 1

Olá, Fabiana.

$x+y=60\Rightarrow x=60-y$

Raio do círculo de comprimento x: (um pedaço será dobrado em forma de círculo)
$x=2\pi r\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi}$

Área do círculo: 
$\pi r^2=\pi\cdot\frac{x^2}{4\pi^2}=\frac{x^2}{4\pi}$

Área do triângulo equilátero: (o outro pedaço será dobrado em forma de triângulo equilátero de lado $\frac{y}{3}$)
$\frac{(\frac{y}{3})^2\sqrt3}4=\frac{(\frac{y^2}{9})\sqrt3}4=\frac{y^2\sqrt3}{36}$

Soma das áreas:
$\frac{x^2}{4\pi} + y^2\frac{\sqrt3}{36}= \frac{(60-y)^2}{4\pi}+ y^2\frac{\sqrt3}{36}=\\\\ = \frac14(\frac{3600-120y+y^2}{\pi}+\frac{y^2\sqrt3}{9}) =\\\\ = \frac14\left[(\frac1{\pi}+\frac{\sqrt3}{9})y^2-\frac{120}{\pi}y+\frac{3600}{\pi}\right]=\\\\=\frac14\left[(\frac{9+\pi\sqrt3}{9\pi})y^2-\frac{120}{\pi}y+\frac{3600}{\pi}\right]=\\\\=\frac1{4\pi}\left[(\frac{9+\pi\sqrt3}{9})y^2-120y+3600\right]$

A expressão entre colchetes é uma parábola que tem a concavidade voltada para cima, pois o coeficiente de $y^2$ é positivo.

Esta parábola atinge seu valor mínimo em seu vértice.

A abscissa do vértice desta parábola é o valor $y$ tal que:

$y_{v\'ertice}=-\frac{b}{2a}=\frac{120}{2(\frac{9+\pi\sqrt3}{9})}=\frac{60}{\frac{9+\pi\sqrt3}{9}}\\\\\boxed{y_{v\'ertice}=\frac{540}{9+\pi\sqrt3}\approx37,34\,m}$

$x=60-y\Rightarrow x\approx60-37,34\Rightarrow\\\\ \boxed{x\approx22,66\,m}$

Os valores de $x$ e $y$ obtidos são, portanto, as medidas das partes do arame após o corte tais que a soma das áreas do círculo obtido com o primeiro arame e do triângulo equilátero obtido com o segundo arame é mínima.