Question

Determinar a equação da reta tangente ao gráfico de função:
a) f (x) = x3 - 1 no ponto de abscissa x = 2.
b) f (x) = 2x3 - x2 + 2x - 3 no ponto de abscissa x = -1.
c) f (x) = x^3 - x + 1 no ponto P (1,1).
d) f (x) = 8/ raiz de x-2 no ponto P (3,2)

Preciso do cálculo por favor!! Vai me ajudar MUITO se resolverem isso, sério.
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Answer 1

Equação de uma reta com coeficiente angular 'm' que passa pelo ponto (x₀,y₀):

$y-y_{0}=m(x-x_{0})\\y-f(x_{0})=m(x-x_{0})\\f(x)=f(x_{0}+m(x-x_{0})$

Quando temos uma reta tangente a um gráfico de uma função, sabemos que o coeficiente angular dessa reta é a derivada da função em x = x₀, logo:

$\boxed{\boxed{y=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}}$

A expressão acima é a equação reduzida de uma reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto (x₀,y₀)
____________________________

a)

$f(x)=x^{3}-1$

Achando f(2):

$f(2)=2^{3}-1=8-1=7$

Queremos saber a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (2,7)

Achando a derivada de f:

$f'(x)=3x^{2}$

Achando o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico em x = 2:

$f'(2)=3\cdot2^{2}=3\cdot4=12$

Então:

$y=f(2)+f'(2)(x-2)\\y=7+12(x-2)\\y=7+12x-24\\\\\boxed{\boxed{y=12x-17}}$

b)

$f(x)=2x^{3}-x^{2}+2x-3$

Achando f(-1):

$f(-1)=2(-1)^{3}-(-1)^{2}+2(-1)-3\\f(-1)=2(-1)-(1)-2-3\\f(-1)=-2-1-5\\f(-1)=-8$

Derivando f:

$f'(x)=3\cdot2x^{3-1}-2\cdot x^{2-1}+1\cdot2x^{1-1}-0\\f'(x)=6x^{2}-2x+2$

Achando o coeficiente angular da reta tangente em x = -1:

$f'(-1)=6(-1)^{2}-2(-1)+2\\f'(-1)=6(1)+2+2\\f'(-1)=6+4\\f'(-1)=10$

Então:

$y=f(-1)+f'(-1)(x+1)\\y=-8+10(x+1)\\y=-8+10+10\\\\\\\boxed{\boxed{y=10x+2}}$

c)

$f(x)=x^{3}-x+1\\f(1)=1^{3}-1+1\\f(1)=1$

Derivando f:

$f'(x)=3x^{2}-1\cdot x^{1-1}+0\\f'(x)=3x^{2}-1\\\\f'(1)=3\cdot1^{2}-1\\f'(1)=3-1\\f'(1)=2$

Então:

$y=f(1)+f'(1)(x-1)\\y=1+2(x-1)\\y=1+2x-2\\\\\\\boxed{\boxed{y=2x-1}}$

d)

$f(x)=\dfrac{8}{\sqrt{x-2}}\\\\\\f(3)=\dfrac{8}{\sqrt{3-2}}=\dfrac{8}{\sqrt{1}}=8$

Derivando f(x) (regra do quociente):

$f'(x)=\dfrac{(\frac{d}{dx}8)\cdot\sqrt{x-2}-(\frac{d}{dx}\sqrt{x-2})\cdot8}{(\sqrt{x-2})^{2}}\\\\\\f'(x)=\dfrac{0-\frac{8}{2\sqrt{x-2}}\cdot\frac{d}{dx}(x-2)}{|x-2|}\\\\\\f'(x)=-\dfrac{(\frac{4}{\sqrt{x-2}})}{|x-2|}$

Achando f'(3):

$f'(3)=-\dfrac{(\frac{4}{\sqrt{3-2}})}{|3-2|}\\\\\\f'(3)=-\dfrac{(\frac{4}{\sqrt{1}})}{1}\\\\\\f'(3)=-4$

Logo:

$y=f(3)+f'(3)(x-3)\\y=8-4(x-3)\\y=8-4x+12\\\\\\\boxed{\boxed{y=-4x+20}}$

Answer 2

As equações das retas tangentes são: y = 12x - 17, y = 10x + 2, y = 2x - 1 e y = -4x + 20.

Suponha que queremos calcular a equação de uma reta tangente a uma curva no ponto (a,f(a)).

A equação desta reta tangente é definida por y - f(a) = f'(a)(x - a).

a) Temos que f(x) = x³ - 1. Como a abscissa é igual a 2, então a ordenada é igual a:

f(2) = 2³ - 1

f(2) = 7.

Além disso, temos que f'(x) = 3x². Logo, f'(2) = 12.

Portanto,

y - f(2) = f'(2)(x - 2)

y - 7 = 12(x - 2)

y - 7 = 12x - 24

y = 12x - 17.

b) Da mesma forma, temos que:

f(-1) = 2.(-1)³ - (-1)² + 2.(-1) - 3

f(-1) = -2 - 1 - 2 - 3

f(-1) = -8.

Além disso,

f'(x) = 6x² - 2x + 2 e f'(-1) = 10.

Portanto,

y - (-8) = 10(x - (-1))

y + 8 = 10(x + 1)

y + 8 = 10x + 10

y = 10x + 2.

c) Temos que:

f'(x) = 3x² - 1 e f'(1) = 2.

Portanto,

y - 1 = 2(x - 1)

y - 1 = 2x - 2

y = 2x - 1.

d) f(3) = 8.

Temos que: $f'(x)=-\frac{4}{\sqrt{(x-2)^3}}$ e f'(3) = -4.

Portanto,

y - 8 = -4(x - 3)

y - 8 = -4x + 12

y = -4x + 20.

Para mais informações sobre reta tangente, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/14070772