Question

Determinar a, b e n de modo que x⁵ – ax⁴ + bx³ – bx² + 2x –1 seja divisível por (x – 1 )ⁿ .
Agradecida ficarei a quem resolver.

Answer 1

Resposta:

x⁵ – ax⁴ + bx³ – bx² + 2x –1  

Utilizando o dispositivo de Briott-Ruffini

x-1=0 ==>x=1

   |  1   |   -a     |   b        |    -b       |   2        | -1

1   |  1   | 1-a     | 1-a+b   |1-a         | 3-a       | 3-a-1=0 ==>a=2

1   |  1   | 2-a    |3-2a+b |4-3a+b  |7-4a +b |7-4a+b=0 ==>b=1

1   |  1   | 3-a    |6-3a+b |10-6a+2b=0  <<< para aqui

1   |  1   | 4-a    |10-4a+b≠0  

a=2

b=1

n=3

Answer 2

Teoria:

Seja $P(x)$ um polinômio univariado (de uma única variável) complexo de variável complexa, cujo grau $gr(P(x))$ é $n$ $(gr(P(x))=n,\ n\ \in\ \mathbb{N^{*}})$. Suponha que o número complexo $x_{1}$ $(x_{1}\ \in\ \mathbb{C})$ seja uma raiz de $P(x)$ com multiplicidade $m$ $(m\ \in\ \mathbb{Z_{+}^{*}}=\mathbb{N^{*}},\ m\leq n)$, logo $P(x)$ poderá ser escrito da seguinte maneira:

$P(x)=(x-x_{1})^{m} \cdot Q(x)\ \ \ \land\ \ \ Q(x_{1})\neq 0$

Note que $P(x)$ é de grau $n$, então o grau $gr(Q(x))$ de $Q(x)$ será $n-m$ $(gr(Q(x))=n-m)$. É imprescindível que $Q(x_{1})$ seja distinto de zero $(Q(x_{1})\neq 0)$, ao passo que $x_{1}$ é raiz cuja multiplicidade é exatamente igual a $m$. Existe um teorema que garante o fato da raiz complexa $x_{1}$ também ser raiz de todas as funções derivadas $P'(x)=P^{(1)}(x),\ P''(x)=P^{(2)}(x),\ P'''(x)=P^{(3)}(x),\ \cdots\ ,P^{(m-1)}(x)$, ou seja, $x_{1}$ é raiz até a derivada $P^{(m-1)}(x)$ de ordem $m-1$ de $P(x)$ (não sendo raiz da derivada m-ésima), onde $m$ é a multiplicidade da raiz $x_{1}$.

Resolução:

Retornando ao exercício, temos a função polinomial (ou polinômio) complexa univariada $\ F:\mathbb{C}\longrightarrow\mathbb{C}$, cuja lei de formação será $F(x)=x^{5}-ax^{4}+bx^{3}-bx^{2}+2x-1$. Deseja-se que o polinômio $F(x)$ seja divisível por $(x-1)^{n}$ (sendo este o $n$ da questão), com isso convém que $n$ seja um inteiro positivo menor ou igual que cinco $(n\ \in\ \mathbb{Z_{+}^{*}},\ n\leq 5)$. Para $n\ \in\ \{1,2,3,4,5\}$ $F(x)$ deve ser divisível por $(x-1)^{n}$, logo:

$F(x)=(x-1)^{n} \cdot K(x)+R(x)\ \ \ \land\ \ \ R(x)=0\ \ \ \Rightarrow$

$F(x)=(x-1)^{n} \cdot K(x)+0\ \ \ \Rightarrow$

$F(1)=2-a=(1-1)^{n} \cdot K(x)\ \ \ \land\ \ \ n\ \in\ \{1,2,3,4,5\}\ \ \ \Rightarrow$

$a=2$

Sendo assim o polinômio $F(x)$ é divisível por $(x-1)$ e torna-se $F(x)=x^{5}-2x^{4}+bx^{3}-bx^{2}+2x-1$. Para dar seguimento à resolução, deve-se derivar $F(x)$ até a última ordem em que seja possível "forçar" o número $1$ como uma de suas raízes, sendo que este também deverá ser raiz de todas as funções derivadas de ordem inferior à ordem máxima. Onde existir possibilidade de realizar tal procedimento, existirá também o coeficiente complexo $b$ (inicialmente incógnito) a determinar. Derivando $F(x)$ sucessivamente até a ordem conveniente, obtém-se:

$F(x)=x^{5}-2x^{4}+bx^{3}-bx^{2}+2x-1\ \ \ \Rightarrow$

$F^{(1)}(x)=5x^{4}-8x^{3}+3bx^{2}-2bx+2\ \ \ \Rightarrow$

$F^{(2)}(x)=20x^{3}-24x^{2}+6bx-2b\ \ \ \Rightarrow$

$F^{(3)}(x)=60x^{2}-48x+6b\ \ \ \ \ \ (i)$

Levando em consideração a condição imposta no texto acima, percebe-se a partir de $(i)$ que $F(x)$ só pode ser derivada até $F^{(3)}(x)$, ou seja, até no máximo à terceira ordem $(n\neq 5)$. Entretanto, ao resolvermos cada uma das três equações $F^{(1)}(1)=0,\ F^{(2)}(1)=0,\ F^{(3)}(1)=0$ obteremos um único valor distinto $(b=-2)$ dos outros dois iguais $(b=1)$ para o número complexo $b$, sendo este dado através da equação $F^{(3)}(1)=0$. Com isso está comprovada a impossibilidade do número $1$ ser raiz de multiplicidade quatro $(n\ \in\ \{1,2,3\})$. O polinômio $F(x)$ é divisível por $(x-1)$, para todo $b$ complexo $(F(x)=(x-1) \cdot T(x) +0,\ \forall\ b\ \in\ \mathbb{C})$, e para que $F(x)$ também seja divisível por $(x-1)^{2}$ e $(x-1)^{3}$, basta escolher $b=1$, que é o valor obtido a partir das equações $F^{(1)}(1)=0$ e $F^{(2)}(1)=0$. Contudo o número $1$ zera (é raiz) até a derivada de segunda ordem, logo ele é raiz de multiplicidade $m$, tal que $m-1=2$, ou seja, $m=3$. Por fim, o maior valor de $n$, ou o maior (máximo) valor para o expoente $n$, de modo que $F(x)$ seja divisível por $(x-1)^{n}$ é $n=m=3$, ou seja:

$max\{n\ \in\ \{1,2,3\}:\ F(x)=(x-1)^{n} \cdot K(x)+0\}=3$

Por fim, o polinômio $F(x)$ associado ao $n$ máximo $(max(n)=3)$, e que possui o inteiro positivo $1$ como raiz tripla, é dado por:

$F(x)=x^{5}-2x^{4}+x^{3}-x^{2}+2x-1$

Um grande abraço!