Question

Desenvolva o binômio (x + 9)3.

Answer 1

Resolução da questão, veja bem:

Para começarmos, devemos entender que desenvolver um binômio consiste em expandir os seus termos, de forma a exibi-los na forma do seu maior grau.

Para essa tarefa, usaremos o binômio de Newton. A partir desse método, podemos calcular os mais diversos binômios com variados graus. Para um polinômio de grau n, teremos a expressão:

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{(a+b)^n=\displaystyle\sum_{\sf{k\;=\;0}}^{\sf{n}}\binom{\sf{n}}{\sf{k}}~\sf{a^kb^{n-k}}}}}}}~\bigstar~$

Aplicando o binômio de Newton, teremos o seguinte desenvolvimento para o binômio (x + 9)³ :

$\sf{(x+9)^{3}=\dbinom{3}{0}\cdot x^{3}\cdot9^0+\dbinom{3}{1}\cdot x^{2}\cdot9^1+\dbinom{3}{2}\cdot x^{1}\cdot9^2+\dbinom{3}{3}\cdot x^{0}\cdot9^3}\\ \\ \\ \sf{(x+9)^{3}=\dbinom{3}{0}\cdot x^{3}+9\cdot \dbinom{3}{1}\cdot x^{2}+81\cdot \dbinom{3}{2}\cdot x+729\cdot \dbinom{3}{3}\cdot 1}$

Agora vamos desenvolver os números binomiais. Para fazer esse desenvolvimento, usamos a seguinte relação:

$\sf{\dbinom{\sf{n}}{\sf{p}}=\dfrac{n!}{p!\cdot(n-p)!}}$

Sabendo disso, vamos aplicar na nossa equação encontrada anteriormente:

$\sf{(x+9)^{3}=\dbinom{3}{0}\cdot x^{3}+9\cdot \dbinom{3}{1}\cdot x^{2}+81\cdot \dbinom{3}{2}\cdot x+729\cdot \dbinom{3}{3}\cdot 1}\\ \\ \\ \sf{(x+9)^{3}=\dfrac{3!}{0!\cdot (3-0)!}\cdot x^{3}+9\cdot \dfrac{3!}{1!\cdot (3-1)!}\cdot x^{2}+81\cdot \dfrac{3!}{2!\cdot (3-2)!}\cdot x+729\cdot \dfrac{3!}{3!\cdot (3-3)!}}\\ \\ \\ \sf{(x+9)^{3}=\dfrac{3!}{0!\cdot 3!}\cdot x^{3}+9\cdot \dfrac{3!}{1!\cdot 2!}\cdot x^{2}+81\cdot \dfrac{3!}{2!\cdot 1!}\cdot x+729\cdot \dfrac{3!}{3!\cdot 0!}}$

$\sf{(x+9)^{3}=\dfrac{\diagup\!\!\!\!3!}{\diagup\!\!\!\!3!}\cdot x^{3}+9\cdot \dfrac{3\cdot \diagup\!\!\!\!2!}{\diagup\!\!\!\!2!}\cdot x^{2}+81\cdot \dfrac{3\cdot \diagup\!\!\!\!2!}{\diagup\!\!\!\!2!}\cdot x+729\cdot \dfrac{\diagup\!\!\!\!3!}{\diagup\!\!\!\!3!}}\\ \\ \\ \sf{(x+9)^3=1\cdot x^3+9\cdot3\cdot x^2+81\cdot 3\cdot x+729\cdot 1}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\boxed{\sf{\blue{(x+9)^3=x^3+27x^2+243x+729}}}}}~\checkmark~$

Pronto, está desenvolvido o nosso binômio.

Espero que te ajude!!

Bons estudos!!

Answer 2

• Desenvolvendo esse binômio, temos como resposta x³ + 27x² + 243x + 729.

Para desenvolver esse binômio, temos duas formas possíveis. A primeira seria utilizar o binômio de Newton. Mas meu amigo já fez desta forna, então irei fazer pela segunda forma, que será aplicando a seguinte identidade:

$\large\displaystyle\begin{aligned} (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 \end{aligned}$

Dessa forma, substituindo os dados, temos que:

$\large\displaystyle\begin{aligned} (x+9)^3=x^3+3x^29+3x9^2+9^3 \end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} (x+9)^3=x^3+27x^2+3x81+729 \end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\therefore \boxed{\boxed{\green{ (x+9)^3=x^3+27x^2+243x+729}}} \end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Binômios.

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