Question

Desenhe as curvas de nível e esboce o gráfico:
f ( x,y) =x²/9-y²/16
f ( x,y) =√x + y²

Answer 1

Para as duas curvas, fazemos

$z=f(x,\,y)$


e atribuimos valores reais arbitrários para $z.$

A equação obtida, será a interseção do gráfico de $z=f(x,\,y)$ com o plano horizontal $z=k$  ($k$ é um valor real constante, pertencente à imagem de $f.$

Justamente esta interseção que é a curva de nível de $f(x,\,y)$ em $z=k.$


a) $f(x,\,y)=\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}$

Equação das curvas de nível, fazendo $z=k:$

$k=\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}$


$\bullet\;\;$ Para $k=0$ (a curva de nivel está sobre o plano $xy$):

$0=\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}\\ \\ \\ 16x^{2}-9y^{2}=0\\ \\ 9y^{2}=16x^{2}\\ \\ y^{2}=\dfrac{16x^{2}}{9}\\ \\ \\ y=\pm \sqrt{\dfrac{16x^{2}}{9}}\\ \\ \\ y=\pm \dfrac{4x}{3}\\ \\ \\ y=\dfrac{4x}{3}\;\;\text{ ou }\;\;y=-\dfrac{4x}{3}$


As equações acima descrevem duas retas concorrentes, que se cruzam na origem do plano $xy.$


$\bullet\;\;$ Para $k<0$ (curvas de nível na região abaixo do plano $xy$):

$k=\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}\\ \\ \\ \dfrac{x^{2}}{9k}-\dfrac{y^{2}}{16k}=1\\ \\ \\ \dfrac{x^{2}}{-(3\sqrt{-k})^{2}}-\dfrac{y^{2}}{-(4\sqrt{-k})^{2}}=1\\ \\ \\ \dfrac{y^{2}}{(4\sqrt{-k})^{2}}-\dfrac{x^{2}}{(3\sqrt{-k})^{2}}=1$


As equações acima descrevem hipérboles centradas sobre o eixo $z,$ com eixo real paralelo ao eixo $y.$


$\bullet\;\;$ Para $k>0$ (curvas de nível na região acima do plano $xy$):

$k=\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}\\ \\ \\ \dfrac{x^{2}}{9k}-\dfrac{y^{2}}{16k}=1\\ \\ \\ \dfrac{x^{2}}{(3\sqrt{k})^{2}}-\dfrac{y^{2}}{(4\sqrt{k})^{2}}=1$


As equações acima descrevem hipérboles centradas sobre o eixo $z,$ com eixo real paralelo ao eixo $x.$


A equação $f(x,\,y)=\dfrac{x^{2}}{9}-\dfrac{y^{2}}{16}$ descreve um paraboloide hiperbólico.


b) $f(x,\,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$

Os valores negativos não pertencem à imagem da função. Então, desprezamos os valores negativos de $k.$

Equação das curvas de nível, fazendo $z=k:$

$k=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\\ \\ x^{2}+y^{2}=k^{2};\,\,\,k\geq 0$


$\bullet\;\;$ Para $k=0$ (a curva de nivel está sobre o plano $xy$):

$x^{2}+y^{2}=0\;\;$


A equação acima é o ponto $(0;\,0)$ do plano $xy.$


$\bullet\;\;$ Para $k\geq 0$ (curvas de nivel da região acima do plano $xy$):

$x^{2}+y^{2}=k^{2}$


A equação acima descreve circunferências centradas sobre o eixo $z,$ com raio igual a $k.$


A equação $f(x,\,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ é a equação de um cone circular, com vértice na origem, e localizado acima do plano $xy.$