Question

Descubra dois números cuja soma -6 e cujo produto é mais + 16

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores dos respectivos números são:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf x' = -3 - \sqrt{7}i\:\:\:e\:\:\:x'' = -3 + \sqrt{7}i\:\:\:}}\end{gathered} }$

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y' = -3 + \sqrt{7}i\:\:\:e\:\:\:y'' = -3 - \sqrt{7}i\:\:\:}}\end{gathered} }$

Para resolver esta questão devemos montar e resolver o seguinte sistema de equações do primeiro grau:

         $\Large\begin{cases} x + y = -6\\x\cdot y = 16\end{cases}$

Isolando "y" na primeira equação temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y = -6 - x\end{gathered}$

Substituindo o valor de "x" na segunda equação, temos:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} x\cdot(-6 - x) = 16\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} -6x - x^{2} = 16\end{gathered}$

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} -x^{2} - 6x - 16 = 0\end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} + 6x + 16 = 0\end{gathered}$

Obtendo os valores de "x":

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x = \frac{-6\pm\sqrt{6^{2} - 4\cdot1\cdot16}}{2\cdot1}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-6\pm\sqrt{36 - 64}}{2}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-6\pm\sqrt{-28}}{2}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-6\pm2\sqrt{7}i}{2}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -3\pm\sqrt{7}i\end{gathered}$

✅ Portanto, os possíveis valores de "x" são:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' = -3 - \sqrt{7}i\:\:\:e\:\:\:x'' = -3 + \sqrt{7}i\end{gathered}$

Para calcular os possíveis valores para "y" devemos substituir os valores de "x" na equação "I". Então, temos:

• Obtendo o valor de y':

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y' = -6 - x'\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -6 - (-3 - \sqrt{7}i)\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -6 + 3 + \sqrt{7}i\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -3 + \sqrt{7}i\end{gathered}$

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:y' = -3 + \sqrt{7}i\end{gathered}$

• Obtendo o valor de y'':

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} y'' = -6 - x''\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -6 - (-3 + \sqrt{7}i)\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -6 + 3 - \sqrt{7}i\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -3 - \sqrt{7}i\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \therefore\:\:\:y' = -3 - \sqrt{7}i\end{gathered}$

✅ Portanto os possíveis valores de "y" são:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} y' = -3 + \sqrt{7}i\:\:\:e\:\:\:y'' = -3 - \sqrt{7}i\end{gathered}$

PROVA:

Substituindo os valores nas equações do sistema, temos:

• Primeira equação:

                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x' + y' = -6\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} (-3 - \sqrt{7}i) + (-3 + \sqrt{7}i) = -6\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} -3 - \sqrt{7}i - 3 + \sqrt{7}i = -6\end{gathered}$

                                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} -3 - 3 = -6\end{gathered}$

                                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} -6 = -6\end{gathered}$

• Segunda equação:

                                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} x''\cdot y'' = 16\end{gathered}$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} (-3 + \sqrt{7}i)\cdot (-3 - \sqrt{7}i)= 16\end{gathered}$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 9 - 3\sqrt{7}i + 3\sqrt{7}i - (\sqrt{7}i)^{2}= 16\end{gathered}$

                                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 9 - (\sqrt{7}i)^{2} = 16\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} 9 - \left[(\sqrt{7})^{2}\cdot i^{2}\right] = 16\end{gathered}$

                                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} 9 - \left[7\cdot(-1)\right] = 16\end{gathered}$

                                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} 9 - \left[-7\right]= 16\end{gathered}$

                                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} 9 + 7 = 16\end{gathered}$

                                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered} 16 = 16\end{gathered}$

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