Question

Descobrir os valores de x para que a equação seja satisfeita: |5x-x^(2)-6|=x^(2)-5x+6

Answer 1

Olá Paulo!

Resposta:

$\boxed{\mathtt{\forall \, x \in \mathbb{R}}}$

Explicação passo-a-passo:

Sabemos da definição de módulo que:

$\displaystyle \mathtt{|x| = \begin{cases} \mathtt{x, \ \ \qquad se \ x \geq 0} \\ \mathtt{- x, \qquad se \ x < 0}\end{cases}}$

Isto posto, temos que:

$\displaystyle \mathtt{|5x - x^2 - 6| = \begin{cases} \mathtt{5x - x^2 - 6, \ \ \qquad se \ x \geq 0} \\ \mathtt{- 5x + x^2 + 6, \qquad se \ x < 0}\end{cases}}$

Desse modo:

$\mathtt{\bullet \qquad Se \ x \geq 0:} \\\\ \mathsf{|5x - x^2 - 6| = x^2 - 5x + 6} \\\\ \mathsf{\Rightarrow 5x - x^2 - 6 = x^2 - 5x + 6} \\\\ \mathsf{\Rightarrow 2x^2 - 10x + 12 = 0 \qquad \div(2} \\\\ \mathsf{\Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0} \\\\ \mathsf{\Rightarrow (x - 2)(x - 3) = 0} \\\\ \Rightarrow \boxed{\mathsf{S_1 = \left \{ 2, 3 \right \}}}$

$\mathtt{\bullet \qquad Se \ x < 0:} \\\\ \mathsf{|5x - x^2 - 6| = x^2 - 5x + 6} \\\\ \mathsf{\Rightarrow - 5x + x^2 + 6 = x^2 - 5x + 6} \\\\ \mathsf{\Rightarrow 0 = 0} \\\\ \Rightarrow \boxed{\mathsf{S_2 = \mathbb{R}}}$