Question

DESAFIO

Determine a equação da circunferência de centro C ( 1, -3 ) e que é tangente à reta

s: 3x – 4y + 5 = 0. Escolha a letra certa

A (x−2)2 + (y−4)2 = 14

B ( x – 6 ) + ( y + 1 ) = 12

C ( x + 1 ) + ( y – 2 ) = 15

D (x−1)2 + (y+3)2 = 16

E ( x – 3) + ( y – 1 ) = 14

Answer 1

Se a circunferência é tangente à reta então a distância do centro da circunferência à reta deve ser igual ao raio da circunferência:

$r=d_{C,s}$


A distância de um ponto $P\left(x_{0},y_{0} \right )$ à reta $s$ de equação $s:ax+by+c=0$ é dada por

$d_{P.s}=\frac{\left|ax_{0}+by_{0}+c\right|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$


$C\left(1,-3 \right )\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_{0}=1\\ y_{0}=-3 \end{array} \right.\\ \\ \\ s:3x-4y+5=0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} a=3\\ b=-4\\ c=5 \end{array}\right.$


A distância entre o centro à reta é o raio $r$ da circunferência, logo

$d_{C,s}=\frac{\left|3\cdot\left(1 \right )-4\cdot\left(-3\right)+5\right|}{\sqrt{\left(3 \right )^{2}+\left(-4 \right )^{2}}}\\ \\ r=\frac{\left|3+12+5|}{\sqrt{9+16}}\\ \\ r=\frac{\left|20|}{\sqrt{25}}\\ \\ r=\frac{20}{5}\\ \\ r=4$


A equação da circunferência dados o centro $C\left(x_{0},y_{0} \right )$ e o raio $r$ é

$\left(x-x_{0} \right )^{2}+\left(y-y_{0} \right )^{2}=r^{2}\\ \\ \left(x-1 \right )^{2}+\left(y-\left(-3 \right ) \right )^{2}=4^{2}\\ \\ \boxed{\left(x-1 \right )^{2}+\left(y+3 \right )^{2}=16}$

Resposta: alternativa D)