Question

Demonstre que a permutação de duas linhas pode ser obtida por um número finito de
operações elementares de outros tipos.

passo a passo em gente

Answer 1

Olá, Jr.

 

Vamos demonstrar que a permuta equivale a 3 operações elementares de soma ou subtração de linhas.

 

$<var>\left[\begin{array}{ccc} \vdots\\ a_{i1} &...& a_{in}\\ \vdots\\ a_{j1} &... &a_{jn}\\ \vdots \end{array}\right]_{m\times n} \\\\\\ \text{1.\ª opera\c{c}\~ao: }L_j=L_j+L_i\ \ (L_k = k\text{-\'esima linha}) \\\\ \left[\begin{array}{ccc} \vdots\\ a_{i1} &...& a_{in}\\ \vdots\\ a_{j1}+a_{i1} &...& a_{jn}+a_{in}\\ \vdots \end{array}\right]</var>$

 

$<var>\text{2.\ª opera\c{c}\~ao: }L_i = L_j - L_i \\\\ \left[\begin{array}{ccc} \vdots\\ a_{j1} &...& a_{jn}\\ \vdots\\ a_{j1}+a_{i1} &... &a_{jn}+a_{in}\\ \vdots \end{array}\right] \\\\\\ \text{3.\ª opera\c{c}\~ao: }L_j = L_j - L_i \\\\ \left[\begin{array}{ccc} \vdots\\ a_{j1} &...& a_{jn}\\ \vdots\\ a_{i1} &...& a_{in}\\ \vdots \end{array}\right]</var>$

 

Observe que, por meio de 3 operações de adição ou subtração de linhas, realizamos a permutação da i-ésima e da j-ésima linhas da matriz.