Question

calcule o volume do sólido pela revolução em torno do eixo  x da função f (x)= x+1 entre 0 e 2

 

a)5$<var>\pi</var>$

b)11/3$<var>\pi</var>$

c)8/3$<var>\pi</var>$

d)26/3$<var>\pi</var>$

Answer 1

Olá, Mayara.

 

A função f(x) = x + 1 é uma reta inclinada (coeficiente angular igual a 1, formando, portanto, um ângulo de 45º, pois tg 45º = 1).

 

Rotacionando a reta f(x) = x + 1 em torno do eixo x, surge a figura de um tronco de cone deitado de altura h = 2 (pois vai de x = 0 a x = 2).

 

O raio da base menor (r) do cone vai de y = 0 a y = f(0) = 0 + 1 = 1.

O raio da base maior (R) do cone vai de y = 0 a y = f(2) = 2 + 1 = 3.

 

Veja o desenho ilustrativo em anexo.

 

O volume do tronco de cone de raio menor (r) igual a 1, raio maior (R) igual a 3 e altura (h) igual 2 é:

 

$<var>V=\frac{\pi h}{3}(R^2+Rr+r^2)=\frac{\pi \cdot 2}{3}(3^2+3\cdot1+1^2)=\frac{2\pi}{3}(9+3+1)\\\\ \therefore \boxed{V=\frac{26\pi}{3}}</var>$

 

 Resposta: letra "d"

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o volume procurado do sólido de revolução é:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf V = \frac{26\pi}{3}\,u.\,v.\:\:\:}}\end{gathered} }$    

Portanto, a opção correta é:

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Alternativa\:D\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                 $\Large\begin{cases} f(x) = x + 1\\I = \left[0,\,2\right]\end{cases}$

Se o sólido é de revolução, então podemos girá-lo sobre um dos eixos. Quando realizamos este giro sobre o eixo das abscissas, obtemos uma fatia - no ponto x -  em forma de disco, cuja medida do raio "r" é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt r = f(x) = x + 1\end{gathered}$

Sabendo que a área dos disco circular pode ser calculada como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x)= \pi r^{2}\end{gathered}$

Substituindo "I" em "II", temos:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x) = \pi(x + 1)^{2} = \pi (x^{2} + 2x + 1)\end{gathered}$

Sabendo que o volume de um sólido de revolução pode ser definido como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{a}^{b}A(x)\,dx \end{gathered}$

Substituindo os valores na equação "III", temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{0}^{2} \left[\pi (x^{2} + 2x + 1)\right]\,dx \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \int_ {0}^{2} (x^{2} + 2x + 1)\,dx\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{2 + 1}}{2 + 1 } +\frac{2x^{1 + 1}}{1 + 1} + x \bigg)\bigg|_{0}^{2}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{3}}{3 } +\frac{2x^{2}}{2} + x \bigg)\bigg|_{0}^{2}\end{gathered} }$

                   $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt = \left[\pi\cdot\bigg(\frac{2^{3}}{3} + \frac{2\cdot2^{2}}{2} + 2\bigg)\right] - \left[\pi\cdot\bigg(\frac{0^{3}}{3} + \frac{2\cdot0^{2}} {2} + 0\bigg)\right]\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt = \pi\cdot\bigg(\frac{8}{3} + \frac{8}{2} + 2\bigg)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \bigg(\frac{16 + 24 + 12}{6}\bigg)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{52\pi}{6}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{26\pi}{3}\end{gathered}$

✅ Portanto, o volume procurado é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \frac{26\pi}{3}\,u.\,v.\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

Saiba mais:

1. https://brainly.com.br/tarefa/52581056
2. https://brainly.com.br/tarefa/7080260
3. https://brainly.com.br/tarefa/1075432
4. https://brainly.com.br/tarefa/978061
5. https://brainly.com.br/tarefa/23596681
6. https://brainly.com.br/tarefa/52150470
7. https://brainly.com.br/tarefa/48461295
8. https://brainly.com.br/tarefa/1043640
9. https://brainly.com.br/tarefa/1074140
10. https://brainly.com.br/tarefa/60957

                 

$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$