Question

Demonstrar que a função y = ax² + bx + c, x ∈ R, tem máximo se, e somente se, a < 0

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre máximos e mínimos locais de funções e derivação.

Dada uma função $f(x)$, contínua e derivável em um dado intervalo, esta função admite máximos locais se os valores de sua derivada segunda calculadas em seus pontos críticos são menores que zero.

Seja a função quadrática $f(x)=ax^2+bx+c,~x\in\mathbb{R},~a\neq0$.

Calculando sua derivada primeira, temos:

$f'(x)=(ax^2+bx+c)'$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é calculada pela regra do produto e da constante: $(C\cdot g(x))'=C\cdot g'(x)$.
• A derivada de uma potência é calculada pela regra da potência: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.

Aplique a regra da soma

$f'(x)=(ax^2)'+(bx)'+(c)'$

Aplique a regra do produto e da constante

$f'(x)=a\cdot (x^2)'+b\cdot (x)'+0$

Aplique a regra da potência e multiplique os termos

$f'(x)=a\cdot 2\cdot x^{2-1}+b\cdot 1\cdot x^{1-1}\\\\\\ f'(x)=2ax+b$

Iguale a primeira derivada da função a zero

$2ax+b=0$

Subtraia $b$ em ambos os lados da função

$2ax=-b$

Divida ambos os lados da função por um fator $2a$

$x=-\dfrac{b}{2a}$

Este é o ponto crítico da função.

Calcule a segunda derivada da função, lembrando que $f''(x)=(f'(x))'$

$f''(x)=(2ax+b)'$

Aplique a regra da soma

$f''(x)=(2ax)'+(b)'$

Aplique a regra do produto e da constante

$f''(x)=2a\cdot (x)'+0$

Aplique a regra da potência e multiplique os termos

$f''(x)=2a\cdot 1\cdot x^{1-1}\\\\\\ f''(x)=2a$

Então, observe que $f''(x)=2a,~\forall{x}\in\mathbb{R}$

Aplicando a propriedade para a classificação de máximos e mínimos locais, temos que:

A função $f(x)$ admite máximo local se $f''(x)=2a<0$, logo tem máximo se, e somente se $a<0$.