Question

Demonstrar que 60 divide(n^2-1)n^2(n^2+1) para todo inteiro positivo n.
Queria a explicação detalhada,eu fiz todas as fatorações...e minha justificativa não está muito boa,estou confuso.

Answer 1

Note que $60=2^2\times3\times5$. Assim, basta que $(n^2-1)\cdot n^2\cdot(n^2+1)$ seja divisível por $2^2$, por $3$ e por $5$ que será divisível por $60$

1) Divisível por 2²

Temos que $n^2-1=(n-1)\cdot(n+1)$. Há duas possibilidades: se $n-1$ é par, então $n+1$ também será par, logo $2^2~|~(n-1)\cdot(n+1)$ e $2^2~|~(n^2-1)\cdot n^2\cdot(n^2+1)$

Se $n-1$ é ímpar, então $n^2$ será par, não só par como divisível por $2^2$. Assim, $2^2~|~(n^2-1)\cdot n^2\cdot(n^2+1)$

2) Divisível por 3

Temos que $(n^2-1)\cdot n^2=(n-1)\cdot(n+1)\cdot n^2$. Dados três naturais positivos, um deles é múltiplo de $3$. Temos três possibilidades:

$\bullet~~n-1\equiv0\pmod{3}$

$\bullet~~n-1\equiv1\pmod{3}$

Desse modo, $n\equiv1+1\equiv2\pmod{3}$ e $n+1\equiv2+1\equiv3\equiv0\pmod{3}$

$\bullet~~n-1\equiv2\pmod{3}$

Com isso, $n\equiv2+1\equiv3\equiv0\pmod{3}$.

Logo, $3~|~(n^2-1)\cdot n^2\cdot(n^2+1)$

3) Divisível por 5

$(n^2-1)\cdot n^2\cdot(n^2+1)=(n-1)\cdot(n+1)\cdot n^2(n^2+1)$

Temos $5$ possibilidades:

$\bullet~~n-1\equiv0\pmod{5}$

$\bullet~~n-1\equiv1\pmod{5}$

Desse modo, $n\equiv1+1\equiv2\pmod{5}$, de modo que $n^2\equiv2^2\equiv4\pmod{5}$ e $n^2+1\equiv5\equiv0\pmod{5}$

$\bullet~~n-1\equiv2\pmod{5}$

Nesse caso $n\equiv2+1\equiv3\pmod{5}$, ao passo que $n^2\equiv3^2\equiv9\equiv4\pmod{5}$ e $n^2+1\equiv4+1\equiv5\equiv0\pmod{5}$

$\bullet~~n-1\equiv3\pmod{5}$

Aqui $n+1\equiv3+2\equiv5\equiv0\pmod{5}$

$\bullet~~n-1\equiv4\pmod{5}$

Temos $n\equiv4+1\equiv5\equiv0\pmod{5}$

Logo, $5~|~(n^2-1)\cdot n^2\cdot(n^2+1)$

E portanto, $60~|~(n^2-1)\cdot n^2\cdot(n^2+1)$