Question

de quantas maneiras as letras da palavra PROPAROXITONA podem ser arranjadas de modo que:

a)não se altere a ordem das vogais e duas letras p nunca estejam juntas?

Answer 1

Retirando as consoantes (P, R, P, R, X, T, N) nos resta o "esqueleto":

_ _ O _ A _ O _ I _ O _ A

Podem ser colocadas as letras, sem restrição, nos 7 espaços, da mesma quantidade de modos que uma permutação com repetição, com 2 repetições de 2 elementos cada, pois há 2 R's e 2 P's:

$P_{7}^{2,2} = \cfrac{7!}{2! \cdot 2!} = \cfrac{7!}{4} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 2 = 1260$

Agora veja novamente o esqueleto da palavra inicial. Só há 1 circunstância "geral", digamos assim, em que há 2 P's juntos, sendo quando há P's na primeira e segunda letra. Para saber a quantidade de palavras que têm P's nesses lugares, basta permutar as 5 letras que não são os P's (R, R, X, T, N) (permutação com repetição com 2 elementos repetidos):

$P_{5}^{2} = \cfrac{5!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$

Agora veja. Há 2 modos de se colocarem os P's nos dois primeiros lugares da palavra, pois podem ser colocados como $P_1 P_2$ tanto como $P_2 P_1$. Portanto cada uma destas colocações tem 60 permutações das 5 letras restantes (como visto acima), totalizando 120 anagramas que têm P's juntas. Finalizando, há:

$1260 - 120 = 1140$ anagramas de proparoxítona arranjados da maneira solicitada.