Question

das funções dadas por y=x2+8 e y= x3+8 sendo x Real, qual não possui zeros?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Eduarda, que a resolução é bem simples.

Pede-se para determinar, dentre as funções abaixo, aquela que não apresenta raízes reais:

i) y = x² + 8 ---- para encontrar as raízes, vamos igualar "y" a zero. Assim:

0 = x² + 8 --- ou, invertendo-se:
x² + 8 = 0
x² = - 8
x = ± √(-8) <--- Veja que é impossível pois, no âmbito dos números reais,  não existe raiz quadrada de números negativos. Aliás, no âmbito dos reais, não existem raízes quando o índice do radical for par. Como raiz quadrada tem índice "2" ( apenas não se coloca), e como "2" é par, então é por isso que não existe raiz real na equação y = x²+8.

ii) y = x³ + 8 ---- para encontrar as raízes, vamos igualar "y" a zero. Assim:

0 = x³ + 8 --- ou, invertendo-se, teremos:
x³ + 8 = 0
x³ = - 8
x = ∛(-8) ----- note que: "-8" = (-2)³. Assim, ficaremos com:
x = ∛(-2)³ ---- como o "-2" está ao cubo, então ele poderá sair de dentro da raiz cúbica, com o que ficaremos;

x = - 2 <--- Esta é a resposta. Esta é uma raiz real da função y = x³+8.

Nota: quando o radical tem índice ímpar, então não há problema de o radicando (que é o que está dentro do radical)  ser positivo ou negativo. Nesses casos (quando o índice do radical é ímpar), sempre haverá raízes reais.

iii) Então, resumindo, vamos, agora, responder ao que está sendo pedido, que é: das equações dadas qual é aquela que não tem raiz real? Veja a resposta abaixo:

É a equação y = x² + 8 = 0 <--- Esta é a resposta. Note que a outra equação (y = x³+8) tem raiz real e isso já foi visto acima.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.