Question

Dados os vetores u = (1, 3, 5) e v = (– 6, 2, 0), podemos afirmar que:
a) u e v são ortogonais e o produto vetorial uxv =(0, 0, 0)
b) u e v são paralelos e o produto vetorial uxv = (–10, –30, 20)
c) u e v são ortogonais e o produto vetorial uxv = (–10, –30, 20)
d) u e v são LI e o produto vetorial uxv = (0, 0, 0)
e) u e v são LD e o produto vetorial uxv = (0, 0, 0)

Answer 1

$\overrightarrow{\mathbf{u}}=(1,\,3,\,5)\\\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}=(-6,\,2,\,0)$

______________

Calculando o produto vetorial:

$\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=\det\!\left[ \begin{array}{ccc} \overrightarrow{\mathbf{i}}&\overrightarrow{\mathbf{j}}&\overrightarrow{\mathbf{k}}\\ 1&3&5\\ -6&2&0 \end{array} \right]\\\\\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=(3\cdot 0-2\cdot 5)\overrightarrow{\mathbf{i}}-(1\cdot 0-(-6)\cdot 5)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(1\cdot 2-(-6)\cdot 3)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=(0-10)\overrightarrow{\mathbf{i}}-(0+30)\overrightarrow{\mathbf{j}}+(2+18)\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\\overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=-10\overrightarrow{\mathbf{i}}-30\overrightarrow{\mathbf{j}}+20\overrightarrow{\mathbf{k}}\\\\ \overrightarrow{\mathbf{u}}\times\overrightarrow{\mathbf{v}}=(-10,\,-30,\,20)\ne \overrightarrow{\mathbf{0}}$


Como o produto vetorial deu um vetor não nulo, concluímos que $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ não são paralelos, e portanto são linearmente independentes (LI).

_________________

Verificando se $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ são ortogonais via produto escalar:

$\overrightarrow{\mathbf{u}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{v}}=(1,\,3,\,5)\cdot (-6,\,2,\,0)\\\\ =1\cdot (-6)+3\cdot 2+5\cdot 0\\\\ =-6+6+0\\\\ =0~~~~~~(\checkmark)$


Como o produto escalar é zero, concluímos que $\overrightarrow{\mathbf{u}}$ e $\overrightarrow{\mathbf{v}}$ são ortogonais.

_______________

Resposta: alternativa $\text{c).}$