Question

Dados os pontos A = (2, 3), B = (5, 1) e a reta r de equação 2x-y+5=0 , o ponto C, pertencente à r tal que a área do triângulo ABC seja 17 u.a., tem coordenadas iguais a
(a) C (4,–4).
(B) C (4,–9/2).
(c) C (4 –4 )ou C (–9,13/2)
(d) C (-4,–9) ou C (13,4/2)
(e) C (4,13 ) ou C (–9/2,–4).

Answer 1

O ponto C tem coordenadas iguais a C = (4,13) ou C = (-9/2,-4).

Se o ponto C pertence à reta 2x - y + 5 = 0, então podemos dizer que C = (x,2x + 5).

Para calcular a área do triângulo, vamos definir os vetores AB e AC:

AB = (3,-2)

AC = (x - 2,2x + 2).

Agora, precisamos calcular o determinante entre AB e AC:

d = 3.(2x + 2) - (x - 2)(-2)

d = 6x + 6 - (-2x + 4)

d = 6x + 6 + 2x - 4

d = 8x + 2.

A área do triângulo é igual a |d|/2.

Como a área é igual a 17, então:

17 = |8x + 2|/2

|8x + 2| = 34

Temos duas possibilidades:

8x + 2 = 34 ou 8x + 2 = -34.

Portanto,

8x = 32

x = 4

ou

8x + 2 = -34

8x = -36

x = -9/2.

Se x = 4, então C = (4,13).

Se x = -9/2, então C = (-9/2,-4).