Question

Dados os números reais a, b e c diferentes de zero e a matriz quadrada de ordem 2 Assinale a alternativa correta.a-) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.b-) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.c-) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.d-) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.e-) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

a,b,c diferente de zero

1) Verdadeiro

det =a*c-0*b=a*c  é diferente de zero, portanto , A é invertível

2) Verdadeiro  

M^T=

a  0

b  c

det(M^T)=ac

det(M*M^(T) ) =det(M)*det(M^T)

(a*c)² > 0 , pois a e c são diferentes de zero e como são elevados ao quadrado , são positivos

3)  Verdadeiro  

M=

1    b

0   -1

M²=

1    b       *       1    b

0   -1              0   -1  

=1   b-b

0    1

=1    0

0    1

e-) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras

Answer 2

Alternativa (E), as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras

1. A matriz M é invertível. (VERDADEIRO)

>> Uma matriz é invertível se for quadrada e seu determinante for diferente de zero.

A matriz da questão é quadrada. Agora, precisamos saber o valor de seu determinante.

D = a.c - (b.0)

D = a.c

Como o enunciado fala que a, b e c são diferentes de zero, então:

D ≠ 0

2. (VERDADEIRO) Denotando a matriz transposta de M por MT, teremos det(M.MT) > 0

>> O determinante da matriz transposta é igual ao determinante da matriz original.

det(Mt) = det(M)

det(Mt) = a.c

det(M.MT) = det(M).det(Mt)

det(M.MT) = (a.c).(a.c)

det(M.MT) = (a.c)²

a e c são diferentes de zero, e como seus valores estão elevados ao quadrado, mesmo se forem negativos, o determinante terá valor positivo. Ou seja, maior que zero.

det(M.MT) > 0

3. Quando a = 1 e c = −1 , tem-se M² = I , sendo I a matriz identidade de ordem.

>> Calcularemos M² Substituindo os valores de a, b e c na matriz..

VERDADEIRO (é matriz identidade)