Question

Em estudos realizados numa área de proteção ambiental, biólogos constataram que o número N de indivíduos decerta espécie primata está crescendo em função do tempo t (dado em anos), segundo a expressão Supondo que o instante t = 0 corresponda ao início desse estudo e que essa expressão continue sendo válida com opassar dos anos, considere as seguintes afirmativas:1. O número de primatas dessa espécie presentes na reserva no início do estudo era de 75 indivíduos.2. Vinte anos após o início desse estudo, o número de primatas dessa espécie será superior a 110 indivíduos.3. A população dessa espécie nunca ultrapassará 120 indivíduos.Assinale a alternativa correta.a-) Somente a afirmativa 1 é verdadeira.b-) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.c-) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.d-) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.e-) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.

#UFPR
#VESTIBULAR

Answer 1

Resposta: C

Explicação passo-a-passo:

Para calcular o número de primatas no início do estudo (instante inicial), substituímos na expressão o t por 0 e obtemos o valor 75 primatas, logo a afirmação 1 é verdadeira.

Para calcular o número de primatas 20 anos após o início do estudo, substituímos na expressão o t por 20 e obtemos o valor aproximado 104 primatas, logo a afirmação é falsa.

Para saber qual o número de primatas existentes com o decorrer do tempo, estudamos o limite de N(t) quando t tende para +∞

e verificamos q esse valor é 120, logo a afirmação 3 é verdadeira.

C-) é a opção correta

Answer 2

Verificamos que apenas as afirmativas 1 e 3 estão corretas (letra c) pelo uso de propriedades de potencia.

Afirmativa 1 (verdadeira) Para calcular o número de primatas no início, calculamos o valor de $N(t=0)$.

Para t=0 teremos $2^{-0,1\times0}=2^0=1$ (pois qualquer número elevado a zero vale 1)

Portanto, teremos

$N(0) =\frac{600}{5+3\times2^{-0,1\times0}}=\frac{600}{5+3}=\frac{600}{8}={\bf75}$ primatas.

Afirmativa 2 (falsa). Após 20 anos, teremos t=20 na equação. Portanto teremos o seguinte número de primatas:

$N(20) =\frac{600}{5+3\times2^{-0,1\times20}}$

Efetuando as simplificações:

$N(20) =\frac{600}{5+3\times2^{-2}}$

$N(20) =\frac{600}{5+3\times\frac{1}{4}}$

$N(20) =\frac{600}{\frac{20+3}{4}}$

Chegamos ao resultado:

$N(20) =\frac{2400}{23}\approx 104$

Portanto serão cerca de 104 primatas

Afirmativa 3 (verdadeira). Para estudar o limite máximo do número de primatas, precisamos observar para valores de tempo muito grande. Para isso adotamos o limite $t\rightarrow \infty$

Ou seja, vamos tomar um tempo "infinito".

Substituindo este tempo infinito na equação, teremos

$N(\infty) =\frac{600}{5+3\times2^{-0,1\times\infty}}$

Repare que $2^{-0,1\times t}$ diminui para valores maiores de t por que é equivalente a escrever $\frac{1}{2^{+0,1\times t}}$

Portanto, para $t\rightarrow \infty$ teremos $\frac{1}{2^{\infty}}=\frac{1}{\infty}=0$

E por isso a equação reduz para

$N(\infty) =\frac{600}{5+3\times2^{-0,1\times\infty}}=\frac{600}{5}=120$