Dados o um ponto (a, b) de uma reta “r”no plano cartesiano e seu coeficiente angular “α”, temos que a equação da reta r é dada por y −b = α·(x−a). Ache a equaçao da reta tangente e normal a curva f(x) = x 2 − 5x + 3 quando x = 3. onde o coeficiente angular da reta tangente a curva, para x = c, ́e dado por:
m(c) = lim f(h + c) − f(c) /h
h→0
Soluções para a tarefa
Para achar a equação da reta da tangente no ponto x = 3, precisaremos achar a inclinação dela nesse ponto e também o valor do ponto y (para o par x,y), pois assim substituiremos na equação dada no início.
f(x) = x^2 - 5x + 3
f(3) = 3^2 - 5.3 + 3
f(3) = 9 - 15 + 3
f(3) = y = -3
Ponto (3,-3)
Utilizando a fórmula do limite, substituiremos: obs: não aplique o valor de x = c = 3 agora, só no final.
m(c) = lim(h->0) f(h+c) - f(c) /h
m(c) = lim (h->0) (c+h)^2 -5.(c+h) + 3 - (c^2 - 5c + 3)/h
= lim (h->0) c^2 + 2ch + h^2 - 5c -5h + 3 - c^2 + 5c - 3 /h
= lim(h->0) 2ch + h^2 - 5h / h {isole o h}
= lim(h->0) h.(2c + h - 5)/h
= lim(h->0) 2c + h - 5 {aplique o limite}
m(c) = 2c - 5 <-> m(x) = 2x - 5
No ponto x = 3:
m(3) = 2.3-5 = 6-5 = 1
Aplicando a fórmula inicial no ponto (3,-3):
y-(-3) = 1.(x-3)
y + 3 = x - 3
y = x - 6
Resposta: A equação da reta tangente no ponto 3 é y = x - 6