Question

Dado que as raízes da equação x3- 3x2- x + k = 0, onde k é uma constante real, formam uma progressão aritmética, o valor de k é: (A) - 5. (B) - 3. (C) 0. (D) 3. (E) 5.

Answer 1

Olá!

Considerando a PA(r1, r2, r3) onde r1, r2, r3 são as raízes:

Temos da definição de PA temos que:

r2 = (r1+r3) / 2 então 2r2 = r1+r3

E da relação de Girard para polinômio de ordem 3, temos:

r1+r2+r3 = -b/a = -(-3)/1 = 3

Então podemos assumir que r1+r2+r3 = 2r2+r2 = 3r2 = 3 ∴ r2 = 1

Descobrimos que uma raiz é igual a 1. Podemos aplicar briot ruiffini e o resto tem que ser igual a 0 para a divisão por essa:

     |1   -3     -1       k
1   |1   -2     -3     -3 +k

Portanto:

-3+k = 0 
k = 3

Alternativa correta é a letra D.