Question

Dado o circulo de raio r = 6cm, calcule a área do setor circular e do segmento circular do ângulo central de 30 grau.

Answer 1

(ANEXO I)

Para calcular a área do setor circular (região vermelha) basta multiplicar o radiano do ângulo (α) que o forma pela metade do quadrado do seu raio. Matematicamente, temos:

$\text{Area do setor circular}\,=\,\mathsf{S_{1}}\\ \\ \\ \mathsf{S_{1}=\alpha_{rad}\cdot\dfrac{r^{2}}{2}}$

Fazendo 30° em rad:

$\left[\begin{array}{ccc}Angulo&\to&Radiano\\\mathsf{180}&\to&\mathsf{\pi}\\\mathsf{30}&\to&\mathsf{x}\end{array}\right] \\ \\ \\ \\ \mathsf{x=\dfrac{30\cdot\pi}{180}}\,\,\,\,\,\,\, \to\,\,\,\,\,\,\boxed{\mathsf{x=\dfrac{\pi}{6}}}$

Com isso, a área do setor fica sendo:

$\mathsf{S_{1}=\dfrac{\pi}{6}\cdot\dfrac{(6)^{2}}{2}}\\ \\ \\ \mathsf{S_{1}=\dfrac{\pi\cdot6}{2}}\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\,\mathsf{S_{1}=3\,\pi}$

Considerando π = 3,14, teremos:

$\boxed{\mathsf{S_{1}\approx9,42\,\,\,\,\,\,cm^{2}}}$
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(ANEXO II)

Para a área do segmento (região em verde) faz-se a área do setor circular menos a área do triângulo (região em rosa).

$\text{Area do segmento}\,=\,\mathsf{S_{2}}\\ \text{Area do triangulo}\,=\,\mathsf{S_{\Delta}}\\ \\ \mathsf{S_{2}=S_{1}-S_{\Delta}}$

Podemos encontrar a área do triângulo com a seguinte fórmula (ANEXO III):

$\mathsf{S_{\Delta}=\dfrac{a\cdot b\cdot sen\,\alpha}{2}}$

Para o triângulo em questão, teremos:

$\mathsf{S_{\Delta}=\dfrac{r\cdot r\cdot sen\,30\°}{2}}\\ \\ \\ \mathsf{S_{\Delta}=\dfrac{6\cdot 6\cdot (\frac{1}{2})}{2}}\\ \\ \\ \mathsf{S_{\Delta}=3\cdot 6\cdot\dfrac{1}{2}}\\ \\ \\ \mathsf{S_{\Delta}=3\cdot 3}\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\,\boxed{\mathsf{S_{\Delta}=9\,\,\,cm^{2}}}$

Daí, vem a área do segmento circular:

$\mathsf{S_{2}=9,42\,-\,9}\,\,\,\,\,\to\,\,\,\,\,\boxed{\boxed{\mathsf{S_{2}\approx0,42\,\,\,\,\,cm^{2}}}}$