Question

Dado limx→4(2x+2)=10 e ε=0,1, assinale a alternativa que representa o valor de δ positivo.​​​​​​​​​​​​​​


A.
0,05.


B.
0,06.


C.
0,07.


D.
0,08.


E.
0,09.

Answer 1

Considerando $\displaystyle\lim_{x\to4}(2x+2)=10$ e $\epsilon=0{,}1,$ temos:

$\Large\delta=0{,}05.$

_____

Para resolver esta questão, vamos relembrar a definição formal de limite de um função real de uma variável.

Definição (Limite). Sejam $I$ um intervalo aberto contendo o número real $a$ e $f(x)$ uma função definida em $I,$ exceto possivelmente em $a.$ O limite de $f(x)$ quando $x$ se aproxima de $a$ é igual a $L,$ denotado por

  $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L,$

se, para todo $\epsilon >0,$ existe $\delta>0$ tal que se $0<|x-a|<\delta,$ então $|f(x)-L|<\epsilon.$

Simbolicamente, temos:

$\Large\begin{aligned}&\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\iff\\\\&\iff\forall\,\epsilon>0,\exists\,\delta>0:\\\\&\qquad\quad0<|x-a|<\delta\implies|f(x)-L|<\epsilon\end{aligned}$

Nesta questão, é dado o seguinte limite:

$\Large\displaystyle\lim_{x\to4}(2x+2)=10.$

Deseja-se encontrar o valor de $\delta$ positivo correspondente a $\epsilon=0{,}1.$

Para tanto, note o seguinte:

$\Large\begin{aligned}&|(2x+2)-10|<\epsilon\iff\\\\&\iff|2x-8|<0{,}1\\\\&\iff|2\cdot(x-4)|<0{,}1\\\\&\iff|2|\cdot|x-4|<0{,}1\\\\&\iff2\cdot|x-4|<0{,}1\\\\&\iff|x-4|<\dfrac{0{,}1}{2}\\\\&\iff|x-4|<0{,}05.\end{aligned}$

Portanto, escolhendo $\delta=0{,}05,$ temos:

$\Large\begin{aligned}&0<|x-4|<0{,}05\implies\\\\&\implies|(2x+2)-10|<0{,}1.\end{aligned}$

Assim, a alternativa correta é a "A".

Espero ter ajudado!

Para ver questões relacionadas, acesse:

• brainly.com.br/tarefa/21492706;
• brainly.com.br/tarefa/4715643.