Question

Dadas as seguintes afirmações, indique se são verdadeiras (V) ou falsas (F), justificando ou exemplificando as suas respostas:

a) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si.

b) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas entre si.

Answer 1

A) Uma reta será paralela a um plano, quando for paralela a uma reta do plano.
Como um plano tem infinitas retas, e nem todas são paralelas entre si, duas retas paralelas a este plano necessariamente não serão paralela entre si. Considere, por exemplo, três retas (a, b e c), as quais pertencem a um plano α. As retas a e b são paralelas entre si e a reta c é concorrente com a e b. Agora, considere no espaço, duas retas, r e s. Numa primeira situação, r e s são paralelas a a e b. Então, são paralelas entre si e paralelas ao plano α. Agora, numa segunda situação, considere a reta r paralela à reta a e a reta s paralela à reta c. Como r e s são paralelas a duas retas do plano(a e c), são paralelas ao plano, mas como a e c são concorrentes, as retas r e s serão também concorrentes. 
Assim, a alternativa a) é Falsa.
b) Para que uma reta seja perpendicular a um plano, a condição necessária e suficiente é que ela seja perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes do plano, ou seja, deverá fazer um ângulo de 90º com as duas retas do plano e, em consequência, 90º com o plano. Ora, se as duas retas são perpendiculares ao plano, elas fazem com ele, e com as retas concorrentes contidas nele, o mesmo ângulo de 90º e, como consequência, são paralelas entre si (duas retas que têm a mesma direção são paralelas entre si).
Assim, a alternativa b) é Verdadeira.