Question

Dadas as equações das circunferencias:
A1 = x² + y² - 4x - 8y - 5 =0
A2 = x²+y² - 2x - 6y +1= 0
Quanto a posição relativa entre elas podemos afirmar que as duas circunferencias são?

Answer 1

Circunferência A_1:

$x^2+y^2-4x-8y-5=0\\(x^2-4x)+(y^2-8y)-5=0\\(x^2-4x+4)-4+(y^2-8y+16)-16-5=0\\(x-2)^2+(y-4)^2-25=0\\(x-2)^2+(y-4)^2=5^2$
 
Centro: (2, 4)
Raio: 5

Circunferência A_2:

$x^2+y^2-2x-6y+1=0\\(x^2-2x)+(y^2-6y)+1=0\\(x^2-2x+1)-1+(y^2-6y+9)-9+1=0\\(x-1)^2+(y-3)^2-9=0\\(x-1)^2+(y-3)^2=3^2$

Centro: (1, 3)
Raio: 3
 
 Antes de fazer qualquer análise, devemos encontrar a distância entre os centros.
 
 Segue,

$d=\sqrt{(2-1)^2+(4-3)^2}\\d=\sqrt{1+1}\\d=\sqrt{2}$
 
 Note que, $d<r_1+r_2$. Logo, trata-se de circunferências secantes.

Answer 2

Circunferência A_1:

x^2+y^2-4x-8y-5=0\\(x^2-4x)+(y^2-8y)-5=0\\(x^2-4x+4)-4+(y^2-8y+16)-16-5=0\\(x-2)^2+(y-4)^2-25=0\\(x-2)^2+(y-4)^2=5^2

 

Centro: (2, 4)

Raio: 5

Circunferência A_2:

x^2+y^2-2x-6y+1=0\\(x^2-2x)+(y^2-6y)+1=0\\(x^2-2x+1)-1+(y^2-6y+9)-9+1=0\\(x-1)^2+(y-3)^2-9=0\\(x-1)^2+(y-3)^2=3^2

Centro: (1, 3)

Raio: 3

 

Antes de fazer qualquer análise, devemos encontrar a distância entre os centros.

 

Segue,

d=\sqrt{(2-1)^2+(4-3)^2}\\d=\sqrt{1+1}\\d=\sqrt{2}