Question

Dada a reta r : 2x + y + 7 = 0, determine:

a) Uma equação geral da reta s que passa pelo ponto P( -1, 2) e é perpendicular à reta r.

b) O ponto da reta r mais próximo do ponto P( -1, 2).

Answer 1

a) $s: y=\frac{1}{2}x-2$

b)$(-5\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$

Seja uma reta $ax+by+c=0$ Podemos achar a sua  tangente ao reescrever:

$ax+by+c=0\\\\ by=-ax-c\\\\ y=-\frac{a}{b} -\frac{c}{b} \\\\tangente=m=- \frac{a}{b}$

E sabemos que uma reta será perpendicular à outra se o produto das suas tangentes $m$ e $n$ for igual $m\times n=-1$

Seja a reta $r: 2x+y+7=0$ e o ponto $P=(-1,2)$

Vamos achar sua tangente:

$r: 2x+y+7=0 \\\\ y=-2x-7 \\\\m_r=-2$

Uma reta $s$ será perpendicular à reta $r$ se $m_r \times m_s = -1$

Então queremos encontrar $m_s$ tal que:

$-2\times m_s=-1\\\\m_s=\frac{1}{2}$

A equação da reta $s$ é obtida da seguinte forma:

$y-y_0=m_s(x-x_0) no\,\, ponto (-1,2)\\\\y-(-1)=m_s(x-(2))\\\\y+1=\frac{1}{2}(x-2)\\\\y=\frac{1}{2}x-2$

b)

O ponto de $r$ mais próximo de $´(-1,2)$  é o ponto de interseção das duas retas. ou seja, quando $y_r=y_s$ e $x_r=x_s$

Podemos obte-las resolvendo o sistema linear:

$y=-2x-7 \\y=\frac{1}{2}x-2$

multiplicando a segunda equação por menos 1

$y=-2x-7 \\-y=-\frac{1}{2}x+2$

somando a primeira na segunda

$y=-2x-7 \\-0=-\frac{1}{2}x+2x+2-7$

$y=-2x-7 \\-0=-\frac{3}{2}x-5$

$x=-5\frac{2}{3}$

Substituindo em o valor de x na primeira equação:

$y=-2\times(-5\frac{2}{3})-7=10\frac{2}{3}-7=\frac{20}{3}-7=-\frac{1}{3}$