Matemática, perguntado por cleciacabral03, 5 meses atrás

dada a integral tripla ∫ 4-1∫ 2-2 ∫3+2 dy.dx.dz calcule e assinale corretamente sua solução.
a) 20
b) 40
c) 52
d) 60
e) 80

Soluções para a tarefa

Respondido por Nitoryu

A partir dos dados fornecidos pelo problema podemos concluir que o valor desta integral tripla é $\boxed{\boxed{\bf 40}}$

E para chegar a essa conclusão tivemos que usar o teorema de Fubini.

Teorema de Fubini:

O teorema de Fubini nos permite resolver integrais de várias variáveis de maneira mais simples. Embora o Teorema de Fubini estabeleça as condições para poder reduzir a avaliação de uma integral dupla a uma integral iterada e também pode ser usado em uma integral tripla.

Levando em conta o teorema de Fubini podemos encontrar a solução para o nosso problema.

$\rule{12cm}{0.01mm}$

Resolução:

Temos a seguinte integral para resolver:

$\quad\displaystyle \int ^4 _{-1}\int ^2 _{-2} \int ^3 _1 dy dx dz$

Para reduzir essa integral e ela resolverá por partes de acordo com o teorema de Fubini, podemos colocar cada integral entre parênteses, se colocarmos cada integral com seu respectivo diferencial entre parênteses, obtemos:

$\quad \displaystyle = \int ^4 _{-1}\left(\int ^2 _{-2} \left[\int ^3 _1 dy\right]dx\right) dz$

Vamos levar em conta a ordem conforme vamos para a integral, primeiro integramos a integral do meio, depois de resolver essa integral removemos os parênteses e resolvemos a próxima integral e assim por diante.

Se não realizarmos esta ordem, o que pode acontecer é obter um resultado errôneo.

A primeira integral será a mais simples, pois estamos integrando apenas uma diferencial de uma variável, a integral de uma diferencial é a mesma variável. Fazendo esta integral temos:

$\displaystyle = \int ^4 _{-1}\left(\int ^2 _{-2} \left[\vphantom{\dfrac{}{}} y\right]^3 _1 dx\right) dz$

Como estamos resolvendo uma integral definida, o que vamos fazer é avaliar os valores da variável nos limites de integração encontrados, fazendo isso obtemos:

$\displaystyle = \int ^4 _{-1}\left(\int ^2 _{-2} \left(3 -1\right) dx\right) dz\quad \to \quad \displaystyle = \int ^4 _{-1}\left(\int ^2 _{-2} 2dx\right) dz\\\\\quad \displaystyle = \int ^4 _{-1}2\left(\int ^2 _{-2} dx\right) dz$

Vamos enviar o número 2 para fora da integral, pois conta como uma constante.

$\displaystyle I) ~= \int ^4 _{-1}2\left[ \vphantom{\dfrac{}{}}x\right]^2 _{-2} dz \displaystyle \quad \to\quad II)~ = \int^{4} _{-1} 2(2+2) dz\\\\ \displaystyle III)~= \int^{4} _{-1} 2(4) dz \displaystyle \quad \to\quad IV)~ = \int^4_{-1} 8 dz$

O valor desta integral pode ser tomado como uma constante, pois não está somando ou subtraindo uma variável que estamos integrando, fazendo isso obtemos:

$\displaystyle\ = 8\int^{4} _{-1} dz~\to~\displaystyle = 8\left[\vphantom{\dfrac{}{}} z\right]^4 _{-1}\\\\\displaystyle \rm = 8\left(4+1\right)$