Question

Dada a funçao f(x) =-x²+4x-4. determine.

a)A sua raizes;

b)As coordenadas do vertice da parabola;

c) O grafico;

d) Se a funçao admite valor maximo ou minimo e, calcule esse valor;

e)O conjunto imagem;

f) Para que valores de x é decresente a função;

g)Para que valores de x cresente a função;

Answer 1

$\bullet \ f(x) = -x^2 + 4x - 4$

a) Raízes da função

Obtemos as raízes de uma função igualando-a a zero:

$-x^2 + 4x - 4 = 0 \\\\ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \\\\ \circ a = -1 \\ \circ b = 4 \\ \circ c = -4 \\\\ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4)}}{2 \cdot (-1)} \\\\ x = \frac{-4 \pm 0}{-2} = 2 \\\\ \boxed{\text{S} = \{2\}}$

b) As coordenadas do vértice da parábola

O vértice da parábola, sendo um ponto no plano cartesiano, é definido por um par ordenado (x,y), em que ambos são definidos por:

$\bullet \ x_v = -\frac{b}{2a} \\\\ x_v = -(\frac{4}{-2}) = -(-2) = 2 \\\\ \bullet y_v = -\frac{\Delta}{4a} \\\\ y_v = -(\frac{b^2 - 4ac}{4a}) \\\\ y_v = -(\frac{4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-4)}{4 \cdot (-1)}) \\\\ y_v = -(\frac{0}{-4}) = 0$

Assim, as coordenadas do vértice são (2, 0).

c) Gráfico em anexo

d) Se a função admite valor máximo ou mínimo, calcule seu valor

A função em questão possui o coeficiente "a" do modelo ax² + bx + c menor que zero. Assim, sua parábola possui concavidade voltada para baixo, o que significa que há um valor máximo de y passível de ser assumido.

Os valores máximos ou mínimos de uma função quadrática são expressos no vértice de sua parábola. Sendo o y do vértice igual a 0, como descoberto anteriormente, este é o valor máximo da função.

$y_{max} = y_v \\\\ \boxed{y_{max} = 0}$

e) O conjunto imagem

O conjunto imagem de uma função se trata daquele que inclui todos os possíveis valores de y para todo valor de x.

$\text{Im}(f) = \ ]-\infty, 0] \ ou \\ \text{Im}(f) = \{x \in \mathbb{R} \ | \ x \leqslant 0 \}$

f) Para que valores de x a função é decrescente

Pela observação do gráfico, deduzimos que a função é decrescente para os valores de maiores que 2, isto é, x > 2.

g) Para que valores de x a função é crescente

Pela observação do gráfico, deduzimos que a função é decrescente para valores de x menores que 2, isto é, x < 2.