Question

dada a equação: (10^log(x)) x (x^logx10) = Log2 na base 4, o valor de x é:

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Sara, que estamos entendendo que a sua questão estaria escrita da seguinte forma (se não for você avisa, ok?):

10^(log₁₀ (x)) * (x^(logₓ (10)) = log₄ (2)

Antes de iniciar a resolução veja isto e não esqueça mais:

a^(logₐ (N)) = N  --- Ou seja, se temos um número "a" que está elevado a um logaritmo na base "a", então o resultado será o valor do logaritmando N.

ii) Portanto, tendo a propriedade acima como parâmetro, então vamos resolver a sua questão, aplicando exatamente o que vimos na propriedade que acabamos de enunciar. Vamos repetir a escrita da sua questão, que é esta:

10^(log₁₀ (x)) * (x^(logₓ (10)) = log₄ (2) ---- desenvolvendo, teremos que e aplicando a propriedade acima enunciada, então teremos isto:

x * 10 = log₄ (2) --- ou, o que é a mesma coisa:
10x =  log₄ (2) ---- note que log₄ (2) = 1/2, pois se você calcular separadamente você faz assim, veja:

log₄ (2) = k ---- aplicando a definição de logaritmo, teremos:
4ᵏ = 2 ---- note que 4 = 2². Logo:
(2²)ᵏ = 2¹ ---- desenvolvendo, teremos:
2²ᵏ = 2¹ ---- como as bases são iguais, então igualamos os expoentes. Logo:
2k = 1
k = 1/2 <--- Veja que realmente é igual a "1/2" o valor de log₄ (2).

Então, voltando para a nossa expressão e colocando "1/2' no lugar de log₄ (2), ficaremos assim:

10x = 1/2 --- isolando "x", teremos:
x = 1/2*10
x = 1/20 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este será o valor de "x" para que se tenha a expressão originalmente dada [10^(log₁₀ (x))*(x^(logₓ (10)) = log₄ (2)].

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.