construa o gráfico das funções F(x)=ax² +bx + c e a ponte no gráfico os elementos da parábola (o ponto em que ele intercepta o eixo Y os zeros da função e o vertice)
b)F(x)= -x² + 8x -12 sendo o domínio D= {1, 2, 4, 6, 7}
Soluções para a tarefa
Resposta:
Sentido da concavidade está virada para baixo
Zeros x = 2 e x = 6 ( estão nos pontos C e D )
Ponto interseção com eixo Y é o ponto ( 0 ; - 12 ) , ponto B
Vértice ( 4 ; 4 ) ponto A
Explicação passo-a-passo:
b ) f (x)= - x² + 8x -12
Observação 1 → Forma geral das equações completas do 2º grau
São do tipo :
f (x) = ax² + bx + c onde "a" , "b" e "c" ∈ |R e a = ≠ 0
Aqui temos uma equação completa do 2º grau.
Primeira parte
Calcular e representar em gráfico da parábola :
→ sentido da concavidade
→ os zeros da função
→ o ponto em que ele intercepta o eixo Y
→ vértice
1 ) sentido da concavidade
Se a > 0
as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para
cima, na forma de um "U" em ponto grande
Se a < 0 , que é o caso aqui ; a = - 1 e - 1 < 0
as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para
baixo, na forma de "∩" , que parece um U invertido em ponto grande.
Observação 3 → o "a" é o coeficiente de termo em x²
Observação 4 → Coeficientes "fantasmas"
Atrás do "x² " está lá escrito o sinal " - " menos
Quando assim é está lá o " - 1 " a multiplicar pelo "x²" , logo " - 1 * x² ".
Só que os matemáticos decidiram que não era preciso estar sempre a
escrevê-lo.
Mas ele está lá quando for necessário o utilizar ou fazer cálculos com ele.
Esta informação sobre a orientação da concavidade é importantíssima.
Dá logo para ver que ao fazer o gráfico ele vai ter a forma certa.
2 ) Cálculo dos zeros
f (x)= - x² + 8x - 12
Fórmula de Bhascara
x = ( - b ± √Δ ) /(2*a) com Δ = b² - 4 * a * c
a = - 1
b = 8
c = - 12
Δ = 8² - 4 * ( - 1 ) * ( - 12 ) = 64 - 48 = 16
√Δ = √16 = 4
x1 = ( - 8 + 4 ) / ( 2 * (-1 ) )
x1 = - 4 / ( - 2 )
x1 = 2
x2 = ( - 8 - 4 ) / ( 2 * (-1 ) )
x2 = - 12 / ( - 2 )
x2 = 6
2) Cálculo do ponto interseção com eixo Y
Ponto no eixo Y tem sempre coordenadas do tipo ( 0 ; ? )
O "?" resulta de calcular f (0)
f(0) = - 0² + 8 * 0 - 12
É o ponto ( 0 ; - 12 )
3) Cálculo do vértice
Vértice ( )
Vértice ( )
Vértice ( 4 ; 4 )
Com estas informações consegue fazer o gráfico ( ver em anexo 1 )
Mas...
Isto é só para a primeira parte da pergunta.
Que é construir o gráfico da função f (x)= - x² + 8x - 12
Nesta fase é construir o gráfico em que os valores para coordenadas em
x podem ser quaisquer números reais.
Quaisquer.
Exemplo:
x = - 1 000 000,2
x = - 500,9876
x = - 39
x = 78,63
x = 1 200 004,98
Percebe bem que são todos os valores Reais de x.
E com todos estes valores que nunca acabam, consegue fazer uma
parábola que é uma linha curva contínua de uma ponta a outra.
Olhe bem para o 1º gráfico ( anexo 1 )
ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº
Agora esqueça quase tudo o que fez acima.
Continua a usar f(x)= -x² + 8x -12
Mas ...
Vai "brincar" a encontrar pontos isolados. ( anexo 2)
Não mais uma bela linha curva na forma de parábola !!
Pergunta e responde :
Qual o valor de "coordenada em y" quando a "coordenada em x" for " 1 " ?
ou seja
usar o primeiro valor de x que está no domínio D= { 1 , 2, 4 , 6 , 7 }
E continua a fazer a mesma pergunta para os restantes valores do
domínio D.
Com essas perguntas e respostas vai ter as coordenadas de 5 pontos !!
E é a representação gráfica destes cinco pontos isolados, que lhe vai
aparecer no segundo gráfico !!!
Segunda parte
sendo o domínio D = { 1 , 2 , 4 , 6 , 7 }
Quando se considera domínio D = { 1 , 2, 4 , 6 , 7 } estamos só a falar de
pontos isolados.
Não misturar com a anterior.
f (x)= - 1 * x² + 8x - 12
f ( 1 ) = - 1² + 8 * 1 - 12 = - 1 + 8 - 12 = - 5
Ponto R ( 1 ; - 5 )
f (2) = - 2² + 8 * 2 - 12 = - 4 + 16 - 12 = 0
Ponto S ( 2 ; 0 )
f (4) = - 4² + 8 * 4 - 12 = - 16 + 32 - 12 = - 28 +32 = 4
Ponto T ( 4 ; 4 )
f (6) = - 6² + 8 * 6 - 12 = - 36 + 48 - 12 = - 48 + 48 = 0
Ponto U ( 6 ; 0 )
f (7) = - 7² + 8 * 7 - 12 = - 49 + 56 - 12 = - 61 + 56 = - 5
Ponto V ( 7 ; - 5 )
Bom estudo.
-------------------------------
Sinais: ( |R ) conjunto dos números Reais ( ∈ ) pertence a
( ≠ ) diferente de ( > ) maior do que ( < ) menor do que
( Δ ) letra grega , "delta" e representa "b² - 4 * a * c " na Fórmula de Bhascara
( x1 e x2 ) nomes dados aos zeros ( * ) multiplicação
Resposta:
Sentido da concavidade está virada para baixo
Zeros x = 2 e x = 6 ( estão nos pontos C e D )
Ponto interseção com eixo Y é o ponto ( 0 ; - 12 ) , ponto B
Vértice ( 4 ; 4 ) ponto A
Explicação passo-a-passo:
b ) f (x)= - x² + 8x -12
Observação 1 → Forma geral das equações completas do 2º grau
São do tipo :
f (x) = ax² + bx + c onde "a" , "b" e "c" ∈ |R e a = ≠ 0
Aqui temos uma equação completa do 2º grau.
Primeira parte
Calcular e representar em gráfico da parábola :
→ sentido da concavidade
→ os zeros da função
→ o ponto em que ele intercepta o eixo Y
→ vértice
1 ) sentido da concavidade
Se a > 0
as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para
cima, na forma de um "U" em ponto grande
Se a < 0 , que é o caso aqui ; a = - 1 e - 1 < 0
as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para
baixo, na forma de "∩" , que parece um U invertido em ponto grande.
Observação 3 → o "a" é o coeficiente de termo em x²
Observação 4 → Coeficientes "fantasmas"
Atrás do "x² " está lá escrito o sinal " - " menos
Quando assim é está lá o " - 1 " a multiplicar pelo "x²" , logo " - 1 * x² ".
Só que os matemáticos decidiram que não era preciso estar sempre a
escrevê-lo.
Mas ele está lá quando for necessário o utilizar ou fazer cálculos com ele.
Esta informação sobre a orientação da concavidade é importantíssima.
Dá logo para ver que ao fazer o gráfico ele vai ter a forma certa.
2 ) Cálculo dos zeros
f (x)= - x² + 8x - 12
Fórmula de Bhascara
x = ( - b ± √Δ ) /(2*a) com Δ = b² - 4 * a * c
a = - 1
b = 8
c = - 12
Δ = 8² - 4 * ( - 1 ) * ( - 12 ) = 64 - 48 = 16
√Δ = √16 = 4
x1 = ( - 8 + 4 ) / ( 2 * (-1 ) )
x1 = - 4 / ( - 2 )
x1 = 2
x2 = ( - 8 - 4 ) / ( 2 * (-1 ) )
x2 = - 12 / ( - 2 )
x2 = 6
2) Cálculo do ponto interseção com eixo Y
Ponto no eixo Y tem sempre coordenadas do tipo ( 0 ; ? )
O "?" resulta de calcular f (0)
f(0) = - 0² + 8 * 0 - 12
É o ponto ( 0 ; - 12 )
3) Cálculo do vértice
Vértice ( -\frac{b}{2a} ;-\frac{delta}{4a}−
2a
b
;−
4a
delta
)
Vértice ( -\frac{8}{2*(-1)} ; - \frac{16}{4*(-1)}−
2∗(−1)
8
;−
4∗(−1)
16
)
Vértice ( 4 ; 4 )
Com estas informações consegue fazer o gráfico ( ver em anexo 1 )
Mas...
Isto é só para a primeira parte da pergunta.
Que é construir o gráfico da função f (x)= - x² + 8x - 12
Nesta fase é construir o gráfico em que os valores para coordenadas em
x podem ser quaisquer números reais.
Quaisquer.
Exemplo:
x = - 1 000 000,2
x = - 500,9876
x = - 39
x = 78,63
x = 1 200 004,98
Percebe bem que são todos os valores Reais de x.
E com todos estes valores que nunca acabam, consegue fazer uma
parábola que é uma linha curva contínua de uma ponta a outra.
Olhe bem para o 1º gráfico ( anexo 1 )
ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº
Agora esqueça quase tudo o que fez acima.
Continua a usar f(x)= -x² + 8x -12
Mas ...
Vai "brincar" a encontrar pontos isolados. ( anexo 2)
Não mais uma bela linha curva na forma de parábola !!
Pergunta e responde :
Qual o valor de "coordenada em y" quando a "coordenada em x" for " 1 " ?
ou seja
usar o primeiro valor de x que está no domínio D= { 1 , 2, 4 , 6 , 7 }
E continua a fazer a mesma pergunta para os restantes valores do
domínio D.
Com essas perguntas e respostas vai ter as coordenadas de 5 pontos !!
E é a representação gráfica destes cinco pontos isolados, que lhe vai
aparecer no segundo gráfico !!!
Segunda parte
sendo o domínio D = { 1 , 2 , 4 , 6 , 7 }
Quando se considera domínio D = { 1 , 2, 4 , 6 , 7 } estamos só a falar de
pontos isolados.
Não misturar com a anterior.
f (x)= - 1 * x² + 8x - 12
f ( 1 ) = - 1² + 8 * 1 - 12 = - 1 + 8 - 12 = - 5
Ponto R ( 1 ; - 5 )
f (2) = - 2² + 8 * 2 - 12 = - 4 + 16 - 12 = 0
Ponto S ( 2 ; 0 )
f (4) = - 4² + 8 * 4 - 12 = - 16 + 32 - 12 = - 28 +32 = 4
Ponto T ( 4 ; 4 )
f (6) = - 6² + 8 * 6 - 12 = - 36 + 48 - 12 = - 48 + 48 = 0
Ponto U ( 6 ; 0 )
f (7) = - 7² + 8 * 7 - 12 = - 49 + 56 - 12 = - 61 + 56 = - 5
Ponto V ( 7 ; - 5 )
Bom estudo.