construa o gráfico das funções F(x)=ax² +bx + c e a ponte no gráfico os elementos da parábola (o ponto em que ele intercepta o eixo Y os zeros da função e o vertice)
a)F(x)=x² - 9 sendo o domínio D = {-1,0,1,2,3}
Soluções para a tarefa
Resposta:
a)
Concavidade virada para cima.
Vértice ( 0 ; - 9 ) é o ponto A
Ponto de Interseção com o eixo dos Y ( 0 ; - 9 ) é o ponto A
( serem iguais é mera coincidência)
Zeros da função x = - 3 e x = 3 ( estão nos pontos C e B )
( ver os dois gráficos em anexo ; um para cada parte diferente do enunciado)
Explicação passo a passo:
Observação 1 → Forma geral das equações completas do 2º grau
São do tipo :
f (x) = ax² + bx + c onde "a" , "b" e "c" ∈ |R e a = ≠ 0
Observação 2 → Formas das equações incompletas do 2º grau
existem dois casos:
1 -Se faltar o termo " bx"
Exemplo: x² - 9
( que o caso desta equação do 2º grau )
2 -Se faltar o termo "c" , chamado de termo independente de x
Diz-se independente porque não tem nele o "x"
a) F(x) = x² - 9
Primeira parte
Calcular e representar em gráfico da parábola necessita de saber estas
informações a seguir :
→ sentido da concavidade da parábola
→ os zeros da função
→ o ponto em que ele intercepta o eixo Y
→ vértice
1 ) Sentido da concavidade
Se a > 0 e é o caso aqui , pois 1 > 0
as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para
cima, na forma de um "U" em ponto grande
Se a < 0
as parábolas destas equações do 2º grau tem concavidade virada para
baixo, na forma de "∩" , que parece um U invertido em ponto grande.
Observação 3 → o "a" é o coeficiente de termo em x²
Observação 4 → Coeficientes "fantasmas"
Atrás do "x² " não está lá nada escrito.
Quando assim é está lá o " 1 " a multiplicar pelo "x²" , logo " 1 * x² ".
Só que os matemáticos decidiram que não era preciso estar sempre a
escrevê-lo.
Mas ele está lá quando for necessário o utilizar ou fazer cálculos com ele.
Esta informação sobre a orientação da concavidade é importantíssima.
Dá logo para ver que ao fazer o gráfico ele vai ter a forma certa.
2 ) Cálculo dos zeros
y = x² - 9
Observação 5 → É uma função incompleta do 2º grau, não preciso de usar
a Fórmula de Bhascara
x² - 9 = 0
Passar "- 9" para 2º membro, trocando sinal
x² = 9
extrair a raiz quadrada a cada termo
ou
x = 3 ou x = - 3
3) Cálculo do ponto interseção com eixo Y
Qualquer ponto no eixo Y tem coordenadas do tipo ( 0 ; ? )
O "?" resulta de calcular f (0)
f(0) = 0² - 9
f(0) = - 9
É o ponto ( 0 ; - 9 )
4) Cálculo do vértice
y = x² - 9 ou seja y = x² + 0x - 9
a = 1
b = 0
c = - 9
Δ ( delta ) = b²- 4 * a * c = 0² - 4 * 1 * ( - 9 ) = 36
Vértice ( ) são duas fórmulas que pode usar ; não precisa aqui
das as demonstrar como aparecem.
Vértice ( )
Vértice ( 0 ; - 9 )
Zeros da função x = - 3 e x = 3
Interseção eixo dos Y ( 0 ; -9 )
Vértice ( 0 ; -9 )
Com estas informações consegue fazer o gráfico ( ver em anexo )
Mas...
Isto é só para a primeira parte da pergunta.
Que é construir o gráfico da função f (x) = x² - 9
Nesta fase é construir o gráfico em que os valores para coordenadas em
x podem ser quaisquer números reais.
Quaisquer.
Exemplo:
x = - 1 000 000,2
x = - 500,9876
x = - 39
x = 78,63
x = 1 200 004,98
Percebe bem que são todos os valores Reais de x.
E com todos estes valores que nunca acabam, consegue fazer uma
parábola que é uma linha curva contínua de uma ponta a outra.
Olhe bem para o 1º gráfico ( anexo 1 )
ºººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº
Agora esqueça quase tudo o que fez acima.
Continua a usar f (x) = x² - 9
Mas ...
Vai "brincar" a encontrar pontos isolados. ( anexo 2)
Não mais uma bela linha curva na forma de parábola !!
Pergunta e responde :
Qual o valor de "coordenada em y" quando a "coordenada em x" for "- 1" ?
ou seja
usar o primeiro valor de x que está no domínio D= { - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 }
E continua a fazer a mesma pergunta para os restantes valores do
domínio D.
Com essas perguntas e respostas vai ter as coordenadas de 5 pontos !!
E é a representação gráfica destes cinco pontos isolados, que lhe vai
aparecer no segundo gráfico !!!
Segunda parte sendo o domínio D = { - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 }
Quando se considera domínio D = { - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 } estamos só a falar de
pontos isolados.
Não misturar com a anterior.
f ( - 1 ) = ( - 1 )² - 9 = 1 - 9 = - 8
Ponto M ( - 1 ; - 8 )
f ( 0 ) = ( 0 )² - 9 = - 9
Ponto N ( 0 ; - 9 )
Este ponto N é curioso, porque até já apareceu no gráfico anterior.
Simples coincidência feita por quem fez este enunciado.
f ( 1 ) = ( 1 )² - 9 = 1 - 9 = - 8
Ponto O ( 1 ; - 8 )
f ( 2 ) = ( 2 )² - 9 = 4 - 9 = - 5
Ponto P ( 2 ; - 5 )
f ( 3 ) = ( 3 )² - 9 = 9 - 9 = 0
Ponto Q ( 3 ; 0 )
Este ponto Q é curioso, porque até já apareceu no gráfico anterior.
Simples coincidência feita por quem fez este enunciado.
E já está feito.
Mas duas coisas distintas.
Bom estudo.
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Sinais: ( |R ) conjunto dos números Reais ( ∈ ) pertence a
( ≠ ) diferente de ( > ) maior do que ( < ) menor do que
( Δ ) letra grega , "delta" e representa "b² - 4 * a * c " na Fórmula de Bhascara
