Considere x, y e z números naturais. Na divisão de x por y obtém-se quociente z e resto 8 Sabe-se que a representação decimal de x/y é a dizima periódica 7,363636... Então, o valor de x + y + z é :
Soluções para a tarefa
Vamos ver o que é 7,3636... em fração.
w = 7,3636...
100w = 736,3636...
100w - w = 736,3636... - 7,3636...
99w = 729
w = 729 / 99
Agora vamos a outra setença...
x * y + 8 = z
Divindo 729 por 99 dá 7 com resto 36. Não é isso.
w = 729 / 99 = 243 / 33
Divindo 243 por 33 dá 7 com resto 12. Não é isso.
w = 243 / 33 = 81 / 11
Divindo 81 por 11 dá 7 com resto 4. Não é isso.
w = 81 * 2 / 11 * 2 = 162 / 22
Divindo 162 por 22 dá 7 com resto 8. É isso!
162 + 22 + 7 = 191
O valor de x + y + z é 191.
Essa questão é sobre dízimas periódicas.
Uma dízima periódica é composta de um certo número que se repete infinitamente, chamado de período. Estas dízimas estão relacionadas com uma fração geratriz que forma este número.
Para obter a fração geratriz, devemos colocar o período no numerador e colocar 9’s no denominador de acordo com a quantidade de algarismos do período.
Sabemos que a razão x/y é igual a dízima 7,363636...
Esta dízima possui período igual a 36, logo, sua fração geratriz será:
7,363636... = 7 + 0,363636... = 7 + 36/99 = 729/99
Podemos simplificar esta fração por 9 para obter 81/11. Esta fração possui quociente 7 e resto 4.
A próxima fração equivalente é 162/22 (multiplicada por 2) que possui quociente 7 e resto 8.
Logo, temos x = 162, y = 22 e z = 7 cuja soma é igual a 191.
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