Question

Quantos valores de K ∈ Z existem, tais que 113k + 7 / k +1 é um número inteiro?

Answer 1

Quantidade de divisores de um número inteiro

Se z é um inteiro com fatoração em primos $\mathsf{z=p_{1}^{k_{1}}\cdot p_{2}^{k_{2}}\cdot p_{3}^{k_{2}}\cdot...\cdot p_{n}^{k_{n}}}$

Então o número de divisores positivos de z é

$\mathsf{ndp(z)=(k_{1}+1)\cdot(k_{2}+1)\cdot(k_{3}+1)\cdot...\cdot(k_{n}+1)}$

Se x divide z, então -x também divide z, então para cada divisor positivo de z, existe um divisor negativo. Com isso, a quantidade de divisores (total) de z é

$\mathsf{nd(z)=2\cdot ndp(z)}$
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Precisamos fazer a parcela (k + 1) aparecer no numerador para haver cancelamento.

Para isso, vamos somar e subtrair 113 no numerador:

$\mathsf{\dfrac{113k+7}{k+1}=\dfrac{113k+113-113+7}{k+1}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{113k+7}{k+1}=\dfrac{113\cdot(k+1)-113+7}{k+1}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{113k+7}{k+1}=\dfrac{113\cdot(k+1)-106}{k+1}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{113k+7}{k+1}=\dfrac{113\cdot(k+1)}{k+1}-\dfrac{106}{k+1}}\\\\\\\boxed{\mathsf{\dfrac{113k+7}{k+1}=113-\dfrac{106}{k+1}}}$

Para esse número ser inteiro, k + 1 deverá dividir 106. Ou seja, k + 1 terá que ser um dos divisores de 106 (divisores negativos ou positivos)

Claramente k não pode ser -1, pois teríamos denominador nulo. Então esse divisor de 106 não entrará na resposta final

Vamos encontrar quantos divisores positivos o número 106 possui:

$\mathsf{106=2\cdot53=2^{1}\cdot53^{1}}$

essa é a fatoração de 106 em números primos. Portanto, o número de divisores positivos de 106 é

$\mathsf{ndp(106)=(1+1)\cdot(1+1)=2\cdot2=4}$

Então, a quantidade de divisores de 106 (positivos e negativos) é

$\mathsf{nd(106)=2\cdot4=8}$

Porém, um deles é o -1, logo apenas consideraremos 7 divisores

Com isso, k pode assumir 7 valores de modo que a fração dada seja um número inteiro.