Question

Considere uma progressao geometrica nao monotona (Un). Sabe se que U3=1/12 e que U18= 4*U20. Determine uma expressao do termo geral de Un

Answer 1

O termo geral da progressão geométrica é:

$U_n=\dfrac{1}{3}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

Progressão Geométrica - PG

Um Progressão Geométrica é toda sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se uma constante (razão q) ao termo anterior. Com esta definição podemos obter o termo geral de qualquer PG.

$a_1=a_1\\a_2=a_1\cdot q\\a_3=a_2\cdot q\\a_4=a_3\cdot q\\\vdots\\a_n=a_{n-1}\cdot q$

Multiplicando membro a membro as equações acima com o produto telescópico obtemos:

$a_n=a_1\cdot \underbrace{q \cdot q\cdot q\cdot \ldots \cdot q}_{n-1}\\\\a_n=a_1\cdot q^{n-1}$

Dados U₃ = 1/12 e U₁₈ = 4 . U₂₀ podemos reescrever da seguinte forma:

$\begin{cases}U_3=\dfrac{1}{12}\\U_{18}=4\cdot U_{20}\end{cases}\\\\\begin{cases}U_1\cdot q^2=\dfrac{1}{12}\\U_1\cdot q^{17}=4\cdot U_1\cdot q^{19}\end{cases}$

Da segunda equação teremos:

$q^{17}=4\cdot q^{19}\\\\q^2=\dfrac{1}{4}$

Substituindo na primeira equação obtemos:

$U_1\cdot q^2=\dfrac{1}{12}\\\\U_1\cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}\\\\U_1=\dfrac{1}{3}$

Como o enunciado diz que a progressão geométrica é não monótona temos que a sua razão é negativa, logo q = -1/2 e portanto seu termo geral será dado por:

$U_n=\dfrac{1}{3}\cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$

Para saber mais sobre Progressões Geométricas acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/51266539

#SPJ1