Question

Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por,
em que x é um número real.

a) Determine os possíveis valores de x.

b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no item a).

Answer 1

a) Para calcularmos os possíveis valores de x, consideramos que a₁ = 1 + x,
a₂ = 6x e a₃ = 2x² + 4 são os três primeiros termos de uma progressão aritmética, e então teremos:

a₂ = $\frac{ a_{1}+ a_{3} } }2}$ ⇔ 6x = $\frac{(1+x) + (2 x^{2} +4)}{2}$  ⇔
⇔ 12x = 2x² + x +5 ⇔ 2x² - 11x + 5 = 0 ⇔
⇔x = $\frac{11 +- \sqrt{(-11)^2-4.2.5} }{2.2}$ ⇔ 

⇔ x = $\frac{1}{2}$ ou x = 5


b) Para x = $\frac{1}{2}$, temos:

a₁ = 1 + 1/2 = 3/2, a₂+ 6.1/2 = 3 e a₃ = 2.(1/2)² + 4 = 9/2

Assim, a razão para a P.A (3/2; 3, 9/2,...) é r = 3 - 3/2 = 3/2

O centésimo termo é a₁₀₀ = a₁ + (100-1).r = 3/2 +99.3/2 = 150

Considerando o menor valor de x encontrado, a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética é:

S₁₀₀ = $\frac{ (a_{1} + a_{100}) . 100 }{2}$ = 
= $\frac{( \frac{3}{2}+150) .100}{2} = 7575$


Desta forma, as respostas encontradas foram:
a) x = 1/2 ou x = 5
b) S₁₀₀ = 7575

Answer 2

Resposta:

a) Para calcularmos os possíveis valores de x, consideramos que a₁ = 1 + x,

a₂ = 6x e a₃ = 2x² + 4 são os três primeiros termos de uma progressão aritmética, e então teremos:

a₂ = \frac{ a_{1}+ a_{3} } }2} ⇔ 6x = \frac{(1+x) + (2 x^{2} +4)}{2}

2

(1+x)+(2x

2

+4)

⇔

⇔ 12x = 2x² + x +5 ⇔ 2x² - 11x + 5 = 0 ⇔

⇔x = \frac{11 +- \sqrt{(-11)^2-4.2.5} }{2.2}

2.2

11+−

(−11)

2

−4.2.5

⇔

⇔ x = \frac{1}{2}

2

1

ou x = 5

b) Para x = \frac{1}{2}

2

1

, temos:

a₁ = 1 + 1/2 = 3/2, a₂+ 6.1/2 = 3 e a₃ = 2.(1/2)² + 4 = 9/2

Assim, a razão para a P.A (3/2; 3, 9/2,...) é r = 3 - 3/2 = 3/2

O centésimo termo é a₁₀₀ = a₁ + (100-1).r = 3/2 +99.3/2 = 150

Considerando o menor valor de x encontrado, a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética é:

S₁₀₀ = \frac{ (a_{1} + a_{100}) . 100 }{2}

2

(a

1

+a

100

).100

=

= \frac{( \frac{3}{2}+150) .100}{2} = 7575

2

(

2

3

+150).100

=7575

Desta forma, as respostas encontradas foram:

a) x = 1/2 ou x = 5

b) S₁₀₀ = 7575