Considere um cilindro reto de área lateral igual a 2 64 cm π e um cone reto, com volume igual a 3 128 cm , π cujo raio da base é o dobro do raio da base do cilindro. Sabendo que a altura do cone é 2 cm menor do que a altura do cilindro, e que a altura do cilindro é um número inteiro, a área lateral desse cone é
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Segundo os dados do enunciado, tem-se:
* (I) Um Cilindro Reto de área lateral igual a 64π cm²;
* (II) Um Cone Reto, com volume igual a 128π cm³.
*Relação entre o Cone e o Cilindro:
(1) O raio da base do cone é o dobro do raio da base do cilindro.
(2) E a altura do Cone é 2 cm menor que a altura do cilindro (sendo que essa ultima é um número inteiro).
Pedido:
*Obtenção da área lateral do Cone.
Fórmula da área lateral do Cone: π.(raio do Cone). geratriz
Observação: são desconhecidos o valor do raio do Cone e a medida da geratriz, terão de ser calculados.
Considerações:
(1) Estipulando "R" a medida do Raio do Cilindro, o raio do Cone seria (2R)
(2) Se adotarmos "h" como medida da altura do Cilindro, a altura do Cone seria (h - 2).
(I) A área lateral do Cilindro, vale 64π cm², e é aferida pela fórmula:
Comprimento da Base X altura:
2πR. h
Logo:
2πR. h = 64π
π(2Rh) = π(64)
2Rh = 64
Rh = 64/2
Rh = 32 ------------> Equação (I)
(II) O volume do Cone, 128π cm³, é calculado pela fórmula:
1/3 . Área da Base . altura
Assim:
1/3 . π(raio do Cone)² . (altura do Cone) = 128π
1/3 . π(2R)² . (h - 2) = 128π
π [1/3 . (2R)² . (h - 2)] = π[128]
1/3 . (2R)² . (h - 2) = 128
1/3 . 4R² . (h - 2) = 128
4R² . (h - 2) = 128 . 3/1
4R² . (h - 2) = 384
R² . (h - 2) = 384/4
R²h - 2R² = 96
R. Rh - 2R² = 96 ------------> Equação (II)
Pela Equação (I), sabemos que o valor de Rh é 32 (Rh = 32); Destarte, substituindo esse na Equação (II) :
R. Rh - 2R² = 96
R. (32) - 2R² = 96
-2R² + 32R = 96
2. (-R² + 16) = 96
-R² + 16 = 96/2
-R² + 16 = 48
-R² + 16 - 48 = 0
Resolvendo:
Δ = b² -4ac
Δ = (16)² -4.-1.-48
Δ= 256 - 192
Δ = 64
R = -b ± √Δ
----------
2a
R = -16 ± √64
----------
2. (-1)
R = -16 ± 8
----------
-2
R1 = -16 + 8 <=> -8 <=> 4
---------- ----
-2 -2
R2 = -16 - 8 <=> -24 <=> 12
---------- ----
-2 -2
Obtendo h:
Rh = 32 ------------> Equação (I)
Para (R = 4):
Rh = 32
4h = 32
h = 32/4
h = 8
Para (R = 12)
Rh = 32
12h = 32
h = 32/12
h = 8/3
Segundo o texto da questão, h (altura do Cilindro) é um número inteiro. Consequentemente, o valor (h = 8/3) não convém e determina-se que a medida de R é 4cm e de h é 8cm.
Então o Raio do Cone e a sua respectiva altura são:
Raio do Cone = 2R
Raio do Cone = 2. (4)
Raio do Cone = 8cm
Altura do Cone = h - 2
Altura do Cone = 8 - 2
Altura do Cone = 6cm
Para inferir a área lateral, deveremos antes definir o valor da geratriz (g):
Servindo-se do Teorema de Pitágoras:
Hipotenusa² = (Cateto1)² + (Cateto2)²
g² = (6)² + (8)²
g² = 36 + 64
g² = 100
g = √100
g = 10cm
Cálculo da área lateral do Cone:
π.(raio do Cone). geratriz =
π.(8). 10 =
π.80 =
80π cm²