Question

Considere tres poligonos regulares tais que is números que expressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética. Sabe-se que o produto destes três números é igual a 585 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 3780°. O número total das diagonais nestes três polígonos

Answer 1

O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a 97.

Para a resolução da questão devemos considerar que:  

n1 = n – r, n2 = n e n3 = n + r (números de lados de cada polígono). A soma dos ângulos internos será de:

(n – r – 2) . 180° + (n – 2) . 180° + (n + r – 2) . 180° = 3780°

(n – r – 2 + n – 2 + n + r – 2) . 180° = 3780°

3n – 6 = 21

n = 9

Devemos substituir as informações do enunciado:

n1 . n2 . n3 = 585

n1 . n3 = 5 . 13

n1 e n3 são naturais, sendo assim, existem duas possibilidades:

(n1, n2, n3) = (5, 9, 13) ou (n1, n2, n3) = (1, 9, 65)

Na primeira opção temos os termos em progressão aritmética, então podemos calcular:

C13,2 - 13 + C9,2 + C2,5 - 5 =

(13 . 12)/2 - 13 + (9 . 8)/2 - 9 + (5 . 4)/2 - 5 =

78 - 13 + 36 - 9 + 10 – 5 = 97

Bons estudos!