Question

Considere se um sólido dado pela rotação em torno do eixo ox da região limitada pelo gráfico de f(x)=1/x e pelas retas x=t e y=0, onde t>1.o volume desse sólido é uma função v(t) que depende de t .nesse caso se t tende para o infinito o volume v(t) tende para quanto?

Answer 1

 Não queria responder por aqui, já que não quero dar uma resposta muito detalhada, mas vai facilitar você visualizar tudo.
 A integral que nos dá o volume de uma curva rotacionada em torno do eixo x é a seguinte:

$V = \pi\cdot\int\limits^a_b {[f(x)]^2} \, dx$

 Esse é o volume da curva rotacionada em torno do eixo x e delimitada pelas retas x = a e x = b, você já deve ter visto a demonstração em algum lugar. Nossa função é f(x) = 1/x e nosso x vai de 1 até t, então:

$V = \pi\cdot\int\limits^t_1 {[\dfrac{1}{x}]^2} \, dx\\ \\\\V = \pi\cdot\int\limits^t_1 {\dfrac{1}{x^2}} \, dx$

 A integral de 1/x² sabemos, que é -1/x, então:

$V = \pi\cdot[-\dfrac{1}{x}]^t__1} \\ \\V = \pi\cdot[-\dfrac{1}{t}-(-\dfrac{1}{1})] \\ \\\\V = \pi\cdot[-\dfrac{1}{t}+1]$

 Já encontramos nosso volume variando com o valor de t, agora vamos tomar o limite de V(t) quando t tende ao infinito:

$L= \lim_{t \to \infty} \pi*[-\dfrac{1}{t}+1]$

 Bem simples, se t tende ao infinito, então -1/t vai tender a 0, nos restando pi*1 = pi

Qualquer dúvida só perguntar ;)