Question

Considere os polinômios f e g cujos respectivos graus são 2 e 3. Determine o grau do polinômio h onde,

h=f2−4g

Answer 1

Temos que o grau do polinômio h é 6

Grau do polinômio soma

Se os polinômios P e Q têm grau m e n, com m ≥ n, e P + Q é não nulo, então: gr(P + Q) ≤ m.

Demonstração

Sejam $P\left(x\right)=\sum _{i=1}^m\left(a_i\:x^i\right)$ e $Q\left(x\right)=\sum _{j=1}^n\left(b_j\:x^i\right)$, com gr(P) = m e gr(Q) = n e m ≥ n. Temos dois casos para avaliar

1° caso: m = n

• Se $a_m+b_m\ne 0$, então gr(P + Q) = m

• Se $a_m+b_m=0$ e P + Q é não nulo, então gr(P + Q) < m

Logo, gr(P + Q) ≤ m

2° caso: m > n

Temos:

$P\left(x\right)+Q\left(x\right)=\sum \:_{i=1}^m\left(a_i\:x^i\right)+\sum \:_{j=1}^n\left(b_j\:x^i\right)$

Por hipótese, temos gr(P) = m. Logo, $a_m\ne 0$ e, portanto, gr(P + Q) = m. Assim, pelo 1° e pelo 2° casos, gr(P + Q) ≤ m.

Como f é um polinômio de grau 2, então ele é da seguinte forma f(x) = ax² + bx +c, e como g é um polinômio de grau 3 ele será da seguinte forma g(x) = ax³ + bx² + cx + d. Logo

h = f² - 4g

h = (ax² + bx + c)² - 4(ax³ + bx² +cx + d)

h = (ax² + bx)² + 2(ax² + bx +c) + c² - 4ax³ + 4bx² + 4cx + 4d

$h=a^2x^4+2abx^3+b^2x^2+2ax^2+2bx+2c-4ax^3+4bx^2+4cx+4d$

Logo, o polinômio h tem grau 6

Saiba mais sobre grau de um polinômio:https://brainly.com.br/tarefa/4151317

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