Question

Considere o seguinte sistema linear 3x+y=1. 2x+3y=10 utilizando a regra de Cramer e determine os valores de x e y

Answer 1

Para utilizar a regra de Cramer, precisamos encontrar a matriz incompleta do sistema, esta é a matriz dos coeficientes do sistema. Temos o sistema:
3x + y = 1
2x + 3y = 10

Os coeficientes são 3 e 1, 2 e 3, portanto:
$A = \left[\begin{array}{cc}3&1\\2&3\end{array}\right]$

O determinante de A pode ser calculado multiplicando a diagonal principal e subtraindo o resultado pela multiplicação da diagonal secundária:
det(A) = 3*3 - 2*1 = 9 - 2 = 7

Para encontrar os valores de x e y, precisamos encontrar a matriz correspondente substituindo a coluna de termos independentes pela coluna de x ou y. Desta forma:
$Ax = \left[\begin{array}{cc}1&1\\10&3\end{array}\right]$

det(Ax) = 1*3 - 1*10 = 3 - 7 = -7

$Ay = \left[\begin{array}{cc}3&1\\2&10\end{array}\right]$

det(Ay) = 3*10 - 2*1 = 30 - 2 = 28

O valor de x é dado pela fração do determinante de Ax pelo determinante de A, o mesmo para y:

$x = \dfrac{det(Ax)}{det(A)} = \dfrac{-7}{7} = -1 \\ \\ y = \dfrac{det(Ay)}{det(A)} = \dfrac{28}{7} = 4$

Portanto, x = -1 e y = 4.