Question

Considere o retângulo ABCD. O lado AB mede 13 cm e BC mede 7 cm. Os segmentos PB, BQ, DR e SD têm uma mesma medida x. a) Calcule x (em cm) para que a área PQRS seja máxima. b) Calcule a área PQRS

Answer 1

Área do retângulo ABCD: $A_1=13.7=91cm^2$

Área do triângulo SDR é a mesma do triângulo PBQ, as duas áreas somadas resulta em: $A_2=2. \frac{x.x}{2} =x^2$

Área do triângulo SAB é a mesma do triângulo QCR, as duas áreas somadas resulta em: $A_3=2. \frac{(13-x).(7-x)}{2} =91-7x-13x+x^2=91-20x+x^2$.

Se pegarmos a área do retângulo maior, o ABCD, e subtrairmos as áreas dos triângulos teremos a área do retângulo SRQP:

$A=A_1-A_2-A_3\\A=91-(x^2)-(91-20+x^2)\\A=91-x^2-91+20-x^2)\\A=-2x^2+20x$

O Área máxima é calculada por meio dos vértices da equação, mais especificamente o valor da abscissa do vértice:

$x_v=-\frac{b}{2a} \\x_v=-\frac{20}{-2.2} \\x_v=5cm$

Já a área máxima pode ser calculada colocando x=5 na equação de A:

$A=-2.5^2+20.5\\A=-2.25+100\\A=-50+100\\A=50cm^2$