Question

Considere o prisma triangular retangular abaixo e M o ponto médio do lado EF e N o ponto médio do lado BC.
(a) Os vetores AB, AC e AD forma uma base? Justifique.
(b) Escreva o vetor AM como combinação linear de AB, AC e AD.

Obs.: Tem em anexo a figura do prisma triangular.

Answer 1

a) Considere que A é a origem dos eixos x, y e z do $\mathbb{R}^3$, onde $\overrightarrow{AB}=b\vec j$, $\overrightarrow{AD}=d\vec k$ e $\overrightarrow{AC}=c_1\vec i+c_2\vec j$, com $b,c_1,c_2,d\in\mathbb{R}$ e não nulos. Podemos afirmar isso, pois $\overrightarrow{AB}$ é ortogonal e coplanar a $\overrightarrow{AD}$ e $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ são coplanares, porém não ortogonais. Tomando uma combinação linear nula dos vetores:

$\alpha\overrightarrow{AB}+\beta\overrightarrow{AC}+\gamma\overrightarrow{AD}=0\Longrightarrow \alpha(b\vec j)+\beta(c_1\vec i+c_2\vec j)+\gamma(d\vec k)=0\iff\\\\\ (\beta c_1)\vec i+(\alpha b+\beta c_2)\vec j+(\gamma d)\vec k=0$

Como é sabido, $\vec i,\vec j,\vec k$ são LI. Logo, todos os coeficientes são nulos. Assim:

$(\beta c_1)\vec i+(\alpha b+\beta c_2)\vec j+(\gamma d)\vec k=0\\\\ \beta c_1=0\Longrightarrow\boxed{\beta=0}\\\\ \gamma d=0\Longrightarrow\boxed{\gamma=0}\\\\ \alpha b+\beta c_2=0\iff \alpha b+0 c_2=0\iff \alpha b=0\iff\boxed{\alpha=0}$

Portanto, os vetores $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}$ são LI. Como são pertencem ao $\mathbb{R}^3$, que é um espaço de dimensão 3, também formam base. $\blacksquare$

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b) Como $M$ é ponto médio de $EF$, podemos dizer que: $\overrightarrow{AM}=\dfrac{\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AE}}{2}~(i)$. Note que ACFD e ABED são paralelogramos. Usando a Regra do Paralelogramo em cada um deles:

$ACFD:\\\\ \overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\\\\\\ ABED:\\\\ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$

Substituindo o obtido acima em (i):

$\overrightarrow{AM}=\dfrac{\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AE}}{2}\Longrightarrow \overrightarrow{AM}=\dfrac{(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})}{2}\iff\\\\\boxed{\overrightarrow{AM}=\dfrac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}+\overrightarrow{AD}}$

Answer 2

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Dados 3 vetores do $\mathbb{R}^3,$ eles serão L.I. se e só se eles não forem coplanares, isto é, não existe um plano que contenha representantes dos 3 vetores.


(a)   Obviamente pela figura, vemos que

$\overrightarrow{\mathsf{AB}},~~\overrightarrow{\mathsf{AC}},~~\overrightarrow{\mathsf{AD}}$


não são coplanares, isto é, não existe um único plano que contenha representantes destes três vetores. Portanto,

$\overrightarrow{\mathsf{AB}},~~\overrightarrow{\mathsf{AC}},~~\overrightarrow{\mathsf{AD}}$

são linearmente independentes (L.I.)


Como estamos no espaço $\mathbb{R}^3,$ que é tridimensional, e temos três vetores L.I. podemos concluir que sim

$\{\overrightarrow{\mathsf{AB}},~\overrightarrow{\mathsf{AC}},~\overrightarrow{\mathsf{AD}}\}$

formam uma base para o $\mathbb{R}^3.$

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(b)   Queremos escrever o vetor  $\overrightarrow{\mathsf{AM}}$  como combinação linear dos vetores da base obtida na alínea (a).

Primeiramente, vamos decompor o vetor $\overrightarrow{\mathsf{AM}}$  por soma. Uma possibilidade seria

$\overrightarrow{\mathsf{AM}}=\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\overrightarrow{\mathsf{BE}}+\overrightarrow{\mathsf{EM}}\qquad\quad\textsf{(mas }\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{BE}}}=\overrightarrow{\mathsf{AD}}\textsf{)}\\\\ \overrightarrow{\mathsf{AM}}=\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\overrightarrow{\mathsf{AD}}+\overrightarrow{\mathsf{EM}}\qquad\quad\left(\textsf{mas }\mathsf{\overrightarrow{\mathsf{EM}}}=\overrightarrow{\mathsf{BN}}=\mathsf{\dfrac{1}{2}}\,\overrightarrow{\mathsf{BC}} \right)\\\\\\ \overrightarrow{\mathsf{AM}}=\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\overrightarrow{\mathsf{AD}}+\mathsf{\dfrac{1}{2}}\,\overrightarrow{\mathsf{BC}}\qquad\quad\mathsf{(i)}$


Mas temos também que

$\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\overrightarrow{\mathsf{BC}}=\overrightarrow{\mathsf{AC}}\\\\ \overrightarrow{\mathsf{BC}}=\overrightarrow{\mathsf{AC}}-\overrightarrow{\mathsf{AB}}\qquad\quad\mathsf{(ii)}$


Substituindo $\mathsf{(ii)}$ em $\mathsf{(i)},$ obtemos

$\overrightarrow{\mathsf{AM}}=\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\overrightarrow{\mathsf{AD}}+\mathsf{\dfrac{1}{2}}\cdot\left(\overrightarrow{\mathsf{AC}}-\overrightarrow{\mathsf{AB}}\right)\\\\\\ \overrightarrow{\mathsf{AM}}=\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\overrightarrow{\mathsf{AD}}+\mathsf{\dfrac{1}{2}}\,\overrightarrow{\mathsf{AC}}-\mathsf{\dfrac{1}{2}}\,\overrightarrow{\mathsf{AB}}\\\\\\ \overrightarrow{\mathsf{AM}}=\overrightarrow{\mathsf{AB}}-\mathsf{\dfrac{1}{2}}\,\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\overrightarrow{\mathsf{AD}}+\mathsf{\dfrac{1}{2}}\,\overrightarrow{\mathsf{AC}}$

$\overrightarrow{\mathsf{AM}}=\mathsf{\left(1-\dfrac{1}{2}\right)}\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\overrightarrow{\mathsf{AD}}+\mathsf{\dfrac{1}{2}}\,\overrightarrow{\mathsf{AC}}\\\\\\ \overrightarrow{\mathsf{AM}}=\mathsf{\dfrac{1}{2}}\,\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\overrightarrow{\mathsf{AD}}+\mathsf{\dfrac{1}{2}}\,\overrightarrow{\mathsf{AC}}\\\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\overrightarrow{\mathsf{AM}}=\mathsf{\dfrac{1}{2}}\,\overrightarrow{\mathsf{AB}}+\mathsf{\dfrac{1}{2}}\,\overrightarrow{\mathsf{AC}}+\overrightarrow{\mathsf{AD}} \end{array}}\qquad\quad\checkmark$


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