Question

Considere o gráfico de y=f(x) =ax²+bx+c. O valor de 10a+5b+c é:

a) 6
b)5
c)4
d)3
e)2

Por favor colocar/explicar o passos da conta :)

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Francystylinson, que a resolução é mais ou menos simples.
Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento, como sempre costumamos proceder em nossas respostas.

i) Dado o gráfico (anexo por foto) da função f(x) = ax² + bx + c, pede-se o valor da seguinte expressão: "10a + 5b + c", com base no gráfico dessa função.

i.a) Veja que, pelo gráfico da função dada, temos que o vértice da parábola dessa função (xv; yv) é dada por: (3; 8/5) e que esse mesmo gráfico está cortando o eixo dos "y" exatamente no ponto y = -2.

i.b) Note que o gráfico de qualquer função corta o eixo dos "y" quando "x" é igual a zero. Então vamos para a função dada [f(x) = ax² + bx + c] e vamos substituir o "x" por "0". Assim, teremos:

f(0) = a*0² + b*0 + c
f(0) = 0 + 0 + c
f(0) = c ----- mas como f(0) = - 2, então faremos essa substituição, com o que ficaremos assim:

-2 = c --- ou, invertendo-se:
c = - 2 <--- Veja que já encontramos o valor do termo "c" da função dada.

ii) Agora, que já temos o valor do termo "c", então já poderemos escrever a nossa função [f(x) = ax² + bx + c] do seguinte modo:

f(x) = ax² + bx + (-2)
f(x) = ax² + bx - 2

ii.1) Agora aplicaremos a fórmula para encontrar o "x" do vértice (xv) e o "y" do vértice (yv), que são dados por:

xv = -b/2a ----- substituindo-se "xv" por "3", teremos:
3 = -b/2a ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
3*2a = - b
6a = - b ---- ou, invertendo-se:
-b = 6a ---- multiplicando-se em cruz, teremos;
b = - 6a       . (I)

ii.2) Agora vamos para a fórmula do "y" do vértice (yv):

yv = - (Δ)/4a ---- sendo Δ = b²-4ac. Assim, ficaremos:
yv = -(b²-4ac)/4a ----- como "yv" = 8/5, então vamos substituir, ficando:
8/5 = - (b²-4ac)/4a ---- como já vimos que c = -2, então vamos substituir, ficando:

8/5 = - (b²-4a*(-2))/4a ----- desenvolvendo, temos:
8/5 = - (b²+8a)/4a ----- como já vimos, conforme a expressão (I),  que b = - 6a, então vamos substituir, ficando assim:

8/5 = -((-6a)² + 8a)/4a
8/5 = - (36a² + 8a)/4a ---- dividindo-se cada fator do 2º membro por "4a", iremos ficar apenas com:

8/5 = - (9a + 2) ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
8 = - (9a + 2)*5 ---- efetuando este produto, teremos:
8 = - (45a + 10) ---- retirando-se os parênteses, ficaremos com:
8 = - 45a - 10 ---- passando-se "-10" para o 1º membro, temos:
8 + 10 = - 45a
18 = - 45a ----- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
- 18 = 45a ----- vamos apenas inverter, ficando:
45a = - 18
a = - 18/45 ---- simplificando-se tudo por "9", iremos ficar apenas com:
a = - 2/5  <--- Este é o valor do termo "a" da função [f(x) = ax²+bx+c].

Agora vamos encontrar o valor do termo "b" e, para isso, iremos na expressão (I), que é esta:

b = - 6a ---- substituindo-se "a" por "-2/5", teremos:
b = -6*(-2/5) --- efetuando este produto, teremos:
b = 12/5 <--- Este é o valor do termo "b".

iii) Assim, a nossa função f(x) = ax² + bx + c, após substituirmos os valores de "a" por (-2/5); "b" por (12/5) e "c" por (-2), iremos ficar da seguinte forma:

f(x) = -(2/5)*x² + (12/5)*x + (-2) ---- desenvolvendo, teremos:
f(x) = - 2x²/5 + 12x/5 - 2 <--- Esta é a representação da função f(x) = ax²+bx+c, que tem o gráfico que está anexado por foto.

iv) Agora vamos ao que a questão está pedindo, que é isto:

10a + 5b + c ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
10a + 5b + c = 10*(-2/5) + 5*12/5 + (-2)
10a + 5b + c = -20/5 + 60/5 - 2
10a + 5b + c = - 4 + 12 - 2 ----- fazendo essa soma algébrica, encontramos:
10a + 5b + c = 6 <--- Esta é a resposta. Opção "a".

É isso aí.
Deu pra entender bem todo o nosso passo a passo?

OK?
Adjemir.