Question

01º) O vértice da parábola y = ax² + bx + c é o ponto (2,9). Sabendo que 3 é a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo vertical, determine a, b e c.

02º) Determine o máximo de 81n – 4n², n inteiro.

03º) A R$ 30,00 o ingresso, os concertos de uma banda atraem 500 espectadores. Se cada variação de R$ 1,00 no preço do ingresso faz variar o público em 40 espectadores, qual deve ser o preço do ingresso para que a receita seja máxima?

Answer 1

1) $y=ax^2+bx+c$

Sabemos que $3$ é a ordenada do ponto onde a cuva corta o eixo vertical.

Isso significa que $f(0)=3$, substituindo $x$ por $0$ na função:

$f(0)=a\cdot0^2+b\cdot0+c~\longrightarrow~f(0)=c~\longrightarrow~\boxed{c=3}$

Além disso, sabemos que o vértice da parábola é o ponto $(2,9)$

Lembre-se que:

$x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$y_V=\dfrac{-\Delta}{4a}$

Temos que $x_v=2$ e $y_V=9$. Então:

$\dfrac{-b}{2a}=2~\longrightarrow~-b=2\cdot2a~\longrightarrow~-b=4a~\longrightarrow~b=-4a$

$\dfrac{-\Delta}{4a}=9$

Vamos determinar $-\Delta$. Substituindo $b$ por $-4a$ e $c$ por $3$, obtemos:

$\Delta=(-4a)^2-4\cdot a\cdot3$
$\Delta=16a^2-12a$
$-\Delta=-(16a^2-12a)$
$-\Delta=-16a^2+12a$

Substituindo na fórmula do $y_v$:

$y_V=\dfrac{-16a^2+12a}{4a}=\dfrac{-16a^2}{4a}+\dfrac{12a}{4a}=-4a+3$

Como $y_V=9$, segue que:

$-4a+3=9~\longrightarrow~-4a=9-3~\longrightarrow~-4a=6$

$a=\dfrac{6}{-4}~\longrightarrow~\boxed{a=-\dfrac{3}{2}}$

Lembre-se que $b=-4a$, então:

$b=-4\cdot\left(-\dfrac{3}{2}\right)~\longrightarrow~b=\dfrac{12}{2}~\longrightarrow~\boxed{b=6}$

$y=-\dfrac{3x^2}{2}+6x+3$


2) $81n-4n^2$

$x_v=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{-81}{2\cdot(-4)}=\dfrac{-81}{-8}=10,125$

Mas queremos $n$ inteiro. Observe que $81n-4n^2$ é decrescente para $n>10,125$

Assim, devemos tomar $n=10$. Substituindo:

$81n-4n^2=81\cdot10-4\cdot10^2\\81n-4n^2=810-4\cdot100\\81n-4n^2=810-400\\\boxed{81n-4n^2=410}$

O valor máximo de $81n-4n^2$, com $n$ inteiro, é $410$.


3) Os concertos de uma banda atraem $500$ espectadores com o ingresso a $\text{R}\ ~30,00$

Digamos que haja uma variação de $x$ reais. Pelo enunciado, cada variação de $\text{R}\ ~1,00$ no preço do ingresso faz variar o público em $40$ espectadores

Assim, o ingresso custará $30-x$ reais e o número de espectadores será $500+40x$.

Com isso, a receita $\text{R}(x)$ será dada por:

$\text{R}(x)=(30-x)\cdot(500+40x)$

$\text{R}(x)=15000+1200x-500x-40x^2$

$\text{R}(x)=-40x^2+700x+15000$

O preço do ingresso para que a receita seja máxima é $x_v$

$x_V=\dfrac{-b}{2a}$

$x_V=\dfrac{-700}{2\cdot(-40)}$

$x_V=\dfrac{-700}{-80}$

$\boxed{x_V=8,75}$

O preço do ingresso deve ser $\text{R}\ ~8,75$