Question

Considere o cálculo da derivada da função inversa da função a
seguir: f(x)=2x2+x.

Answer 1

A derivada da função inversa de f(x) é a função $g'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{8x + 1}}$

Derivada da inversa de uma função

Dada uma função real f(x), a inversa dessa função é uma função real g(x) tal que f(g(x)) = x. A regra da cadeia para derivadas de funções compostas afirma que:

$[f(g(x))]' = [x]'$

$f'(g(x)) * g'(x) = 1$

$g'(x) = 1 / f'(g(x))$

$g'(x) = 1 / f'(y)$

$g'(x) = 1 / (4y+1)$

Agora precisamos substituir o valor de y, para isso, temos que utilizar a equação da inversa função f(x) que foi dada na questão:

$g(x) = \dfrac{-1+ \sqrt{1+8x}}{4}$

Substituindo esse valor na equação encontrada anteriormente para a derivada da função g(x), podemos escrever que a derivada da função f(x) é:

$g'(x) = \dfrac{1}{ (4*\dfrac{-1+ \sqrt{1+8x}}{4}) + 1}$

$g'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{8x + 1}}$

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