Question

Considere, num referencial o.n. do espaço, os vetores a = (3,2,0) e b = (0, √5,1).

1. Determine a.b

2. Determine, em graus com aproximação às unidades, a amplitude do ângulo dos dois vetores.

3. Calcule ||a - b||^2

Answer 1

Resposta:

1 )  2√5          2 ) 59 º           3) 19 - 4√5

Explicação passo a passo:

Dados:

Vetores nos espaço

a = ( 3 , 2 , 0 )  

b = ( 0 , √5 , 1 )

Resolução:

1 )

Produto interno ( escalar ) dos vetores "a" e  " b "

a . b = ( 3 , 2 , 0 ) . ( 0 , √5 , 1 )

= 3 * 0 + 2 * √5 + 0 * 1

= 2√5    

2 )

Para calcular a amplitude do ângulo formado pelos vetores usarei a fórmula:

$cos..angulo..(a b )=\dfrac{a.b}{||a||^2*||b||^2}$

Cálculos auxiliares:

$||a||=\sqrt{3^2+2^2+0^2}=\sqrt{9+4} =\sqrt{13}$

$||b||=\sqrt{0^2+(\sqrt{5})^2+1^2 } =\sqrt{5+1} =\sqrt{6}$

Fim de cálculos auxiliares

$cos..angulo..(a e b )=\dfrac{2\sqrt{5} }{\sqrt{13}*\sqrt{6}}$    

$cos..angulo..(a e b )=\dfrac{2\sqrt{5} }{\sqrt{13}*\sqrt{6} }=\dfrac{2\sqrt{5} }{\sqrt{78} } =0.506$

$arco...cujo...cos(0,506) = 59,6$

3 )  

|| a - b ||² =  ?          

Início de cálculos

|| a - b ||² = ( a - b ) . (a - b)      ( pela 2ª propriedade )

a. a - a . b - b . a + b . b

( Pela propriedade comutativa do Produto interno de vetores

- b . a = - a . b

Assim fica

|| a ||² - 2 a . b + || b ||²

Usando os valores atrás determinados

$(\sqrt{13})^2-2*(2*\sqrt{5})+(\sqrt{6} )^2$

$=13-4*\sqrt{5}+6=19-4\sqrt{5}$          

Fim de cálculos

Observação → Propriedades do Produto Interno ou Escalar de vetores

1ª )   Propriedade comutativa

v . w = w . v

2ª)   Propriedade de produto interno de um vetor por ele mesmo

v . v = ||v|| ||v|| = ||v||²

Demonstração desta propriedade que foi usada nesta tarefa.

v . v = || v|| * || v || * cos (v ^ v )

Mas o ângulo ( v ^v ) é igual a zero. Os vetores são coincidentes.

cos ( 0 º ) = 1

Logo

v . v = || v|| * || v || * 1

v . v = || v|| * || v ||

v . v = || v||²

3ª)   Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ( no produto interno de vetores )

u . ( v + w ) = u . v + u . w

4ª)  Propriedade associativa

(kv).w = v.(kw) = k(v.w)

5ª)   Propriedade da multiplicação de um vetor por um valor K

|kv| = |k| |v|

6ª)   |u.v| ≤ |u| |v|    ( desigualdade de Schwarz )

7ª)   |u+v| ≤ |u| + |v|   ( desigualdade triangular)

Bons estudos.    

------------------------------------

( . )  produto interno de vetores      ( * ) multiplicação     ( / ) divisão

||     ||  norma de um vetor