Question

Acerca do vetor a sabe-se que é colinear com o vetor b= (3,-2,6), ||a||= 12 e que tem a terceira coordenada negativa.
Determine as coordenadas do vetor a.

Answer 1

Resposta:

$vetor...a = (-\dfrac{36}{7} ;+\dfrac{24}{7} ;-\dfrac{72}{7} )$

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Vetores colineares

Para que um vetor " u " seja colinear com outro vetor " v" é preciso que se

verifique a seguinte relação:

Exista um  K ∈ { |R | k ≠ 0 } de modo a que   vetor u = K * vetor v

Sendo k uma constante real , mas diferente de zero.

Exemplo:

vetor ( 1 ; 7 ; 8 ) é colinear com vetor ( 2 ; 14 ; 16 )

$(2,14,16) = K*(1,7,8)$

$(2,14,16) = (k_{1} *1,k_{2} *7,k_{3} *8)$      ( 1 )

Termos que provar que

$k_{1} =k_{2}=k_{3}$

Pegando na igualdade ( 1 ), dois vetores são iguais quando têm as respetivas coordenadas iguais.

Vamos montar um sistema de três equações

{ $2 =k_{1}*1$

{ $14=k_{2} *7$

{ $16 =k_{3} *8$

⇔

{ $\dfrac{2}{1} =k_{1}$     ⇔   $k_{1} =2$

{ $\dfrac{14}{7} =k_{2}$   ⇔   $k_{2} =2$

{ $\dfrac{16}{8} =k_{3}$   ⇔   $k_{3} =2$

Então sendo :

$k_{1} =k_{2} =k_{3}$

Isto significa que existe um valor para o k, que é o 2 , que transforma

o vetor vetor ( 1 ; 7 ; 8 ) no vetor ( 2 ; 14 ; 16 ).

São pois colineares

Aplicando ao problema aqui

Sendo vetor "a" = ( x ; y ; z ) para ser colinear com "vetor b" = (3 ; - 2 ; 6 )

$(3;-2;6)= k*(x;y;z)$

ou

$(3;-2;6)= (k*x;k*y;k*z)$

$vetor...a= (k*x;k*y;k*z)$

Mas sabemos que o vetor "a" tem norma = 12 , vamos usar a definição e

Norma de um Vetor

$|| c || =\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Isto sendo "vetor c " um vetor qualquer

Neste caso, como se sabe que são colineares, temos a certeza que existe um "k" que torna colineares estes vetores " a" e "b"

vetor a = k * ( 3 ; - 2 ; 6 )

vetor a = (k*3 ; k*(- 2) ; k* 6 )

$||a||= 12$

$12 = \sqrt{(3k)^2+(-2k)^2+(6k)^2}$

$12 = \sqrt{9k^2+4k^2+36k^2}$

$12 = \sqrt{49k^2}$

Tendo em conta que a raiz quadrada de um valor dá origem a dois valores simétricos ( opostos )

7k = 12       ou    7k = -12

k = 12/7      ou       k = - 12/7

Vamos escolher k = - 12/7 para satisfazer a condição de a terceira

coordenada do vetor "a" ser negativa.

$vetor...a = -\dfrac{12}{7} *(3;-2;6)$

$vetor...a = (3*(-\dfrac{12}{7} ;-2*(-\dfrac{12}{7} ;6*(-\dfrac{12}{7} ))$

$vetor...a = (-\dfrac{36}{7} ;+\dfrac{24}{7} ;-\dfrac{72}{7} )$

Temos satisfeitas as duas condições:

Vetor "a" colinear com vetor "b" e terceira coordenada de vetor "a" ser

negativa ( - 72/7 ).

Bons estudos.    

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( * ) multiplicação     ( / ) divisão           ||     ||  norma de um vetor

( | ) tal que        ( ∈ ) pertence a    ( |R ) conjunto números reais

( ≠ )  diferente de