Question

Considere, num referencial o. n. do espaço, os pontos M c N que são, respectivamente, os pontos médios de [AC] e [BC].
Sendo A (1, 1, 0), B (3, -2, 1) e C( -3,3,0).
Verifique se os vetores MN e AB são colineares.

Answer 1

Resposta:

Vetor MN e vetor AB são colineares

Explicação passo a passo:

Resolução :

O ponto Médio de um segmento de reta, com pontos extremos genéricos:

$A = ( x_{a} ;y_{a} ;z_{a} )$

$B=(x_{b} ;y_{b};z_{b} )$

é dado pela seguinte fórmula:

$Ponto... Medio...AB = ( \dfrac{x_{a}+x_{b} }{2} ;\dfrac{y_{a}+y_{b} }{2} ;\dfrac{z_{a} +z_{b} }{2} )$

(Nota:

nesta fórmula falo de pontos médios de um segmento genérico.

Não é o ponto médio de nenhum segmento de reta deste exercício. )

Cálculo do ponto ( M ) médio de [ AC ]

$Ponto... Medio...AC = ( \dfrac{1+(-3)}{2} ;\dfrac{1+3}{2} ;\dfrac{0+0}{2} )$

$Ponto... Medio...AC = ( \dfrac{-2}{2} ;\dfrac{4}{2} ;\dfrac{0}{2} )$

$Ponto... Medio...AC = ( -1 ;2;0 )$

Cálculo do ponto ( N ) médio de [ BC ]

$Ponto... Medio...BC = ( \dfrac{3+(-3)}{2} ;\dfrac{-2+3}{2} ;\dfrac{1+0}{2} )$

$Ponto... Medio...BC = ( 0;\dfrac{1}{2} ;\dfrac{1}{2} )$

Cálculo do vetor MN

vetor MN =N - M = ( 0; 1/2 ; 1/2 ) - ( - 1 ; 2 ; 0 ) = (0 - ( - 1 ) ; 1/2 - 2 ; 1/2 - 0 )

= ( 1 ; - 3/2 ; 1/2 )

Cálculo do vetor AB = B - A = ( 3 ; - 2 ; 1 ) - ( 1 ; 1 ; 0 ) = ( 3 - 1 ; - 2 - 1 ; 1 - 0 )

= ( 2 ; - 3 ; 1 )

Observação → Vetores colineares

Para que um vetor " u " seja colinear com outro vetor " v" é preciso que se

verifique a seguinte relação:

Exista um  { K ∈  |R | k ≠ 0 } de modo a que  vetor u = K * vetor v

Sendo k uma constante real , mas diferente de zero

Vetor MN =  ( 1 ; - 3/2 ; 1/2 )

Vetor AB = ( 2 ; - 3 ; 1 )

Vetor AB = K * Vetor MN

( 2 ; - 3 ; 1 ) = k * ( 1; - 3/2 ; 1/2 )

( 2 ; - 3 ; 1 ) = ( k * 1 ;  k * (- 3/2 ) ; k * ( 1/2 ) )

Para dois vetores serem iguais as suas coordenadas devem ser ,

respetivamente, iguais.

Assim vamos criar um sistema com 3 equações.

Está-se a atribuir notação diferente aos k, para no fim provar que, se forem

todos iguais, os vetores serão colineares.

$2=k_{1}*1$

$-3=k_{2} *(-\dfrac{3}{2} )$

$1=k_{3} *\dfrac{1}{2}$

Resolvendo cada equação

$k_{1}=2$

$\dfrac{-3}{-\dfrac{3}{2} } =k_{2}$

$k_{3} =\dfrac{1}{\dfrac{1}{2} }$

⇔

$k_{1}=2$

$k_{2}=2$

$k_{3}=2$

Então existe uma constante k = 2 de tal modo que os vetores AB e MN são colineares.

Para passar do vetor MN para vetor AB, basta multiplicar as coordenadas

do MN por 2.

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Cálculos auxiliares

$\dfrac{1}{2} -2=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{2} =\dfrac{1-4}{2} =-\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{-3}{-\dfrac{3}{2} } =-3 : (-\dfrac{3}{2})=-\dfrac{3}{1} *(-\dfrac{2}{3} )=\dfrac{-3*(-2)}{3}=\dfrac{6}{3} =2$

$\dfrac{1}{\dfrac{1}{2} }=1 : \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{1} : \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{1} * \dfrac{2}{1}=\dfrac{1*2}{1*1} =2$  

o inverso de 1/2 é igual a 2.

Bons estudos.

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( * ) multiplicação          ( / ) divisão           ( : )  divisão                   ( | ) tal que  

( ≠  ) diferente de          ( |R ) conjunto dos números reais