Question

Considere dois números reais a e b tais que a > b > 0. O gráfico da função
y= 1/a (x-a)^2 - 1/b (x- b)^2. Corta o eixo das abscissas P e Q. a distância entre P e Q é: a) 2(a +b) b) 2(a - b) c) 2√a^2 + b^2 d) 2ab/ a+ b e) 2√ab

Em um bingo, um prêmio em dinheiro saiu para dois
cartões, um da cidade A e outro da cidade B. O cartão da
cidade B era de um bolão com 5 apostadores, tendo cada um
contribuído com a mesma importância para o bolão e
acordado que, em caso de contemplação, o prêmio seria
proporcional. A fração do prêmio total que cada apostador
da cidade B receberá é igual a
A) 1/5 B) 1/6 C) 1/9 D) 1/10 E) 1/12

Answer 1

1) Dados:
a > b > 0 (a e b são positivos e a é maior do que b)
y= (1/a).(x - a)² - (1/b).(x - b)²

O exercício afirma que a função corta o eixo das abcissas nos pontos P(p,0) e Q(q,0). Logo p e q são raízes da função. Expandindo a função para que possamos observar seus coeficientes:

y = (1/a).(x - a)² - (1/b).(x - b)²
y = (1/a).(x² - 2ax + a²) - (1/b).(x² - 2bx + b²)
y = x²/a - 2x + a - x²/b + 2x - b
y = (1/a - 1/b)x² + (a - b)

Nesta equação do segundo grau temos:
coeficiente a = 1/a - 1/b
coeficiente b = 0
coeficiente c = a - b

A soma das raízes, p + q, é dada por:
p + q = - b/a (aqui a e b são os coeficientes da função, não confundir):
p + q  = - 0/(1/a - 1/b) = 0
p + q = 0
p = - q

O produto das raízes, p.q, é dado por:
p.q = c/a
p.(- p) = (a - b)/(1/a - 1/b)
- p² = (a - b)/[(b - a)/ab]   
(- 1).p² = (a - b)/[(b - a)/ab]   
p² = (a - b)/[(- 1)(b - a)/ab]  
p² = (a - b)/[(a - b)/ab]    
p² = ab
p = √(ab) ou - √(ab)

Se p = √(ab), q = - √(ab) (ou vice-versa).

Queremos a distância entre p e q:
|p - q| = |√(ab) - [- √(ab)]| = 2√(ab)
(como a e b são positivos, a raiz quadrada do seu produto é um número real).

Alternativa E.

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2) Seja x o valor do prêmio. 
O ganhador da cidade A receberá x/2.
O grupo ganhador da cidade B também receberá x/2. Cada um do grupo receberá 1/5 de x/2 = 1/5.x/2 = x/10

Alternativa D.