Question

no triângulo ABC, o ângulo de vértice A é obtuso, BC = a e AC = b. Os pontos P e Q do lado BC são tais que BP= PA = AQ = QC. O segmento PQ mede
a) a^2 -b^2/a b) a^2 - b^2 / b c) 2a^2 + b^2/b d) a^2+ 2b^2/a e) a^2-2b^2/a

Answer 1

Chamando o segmento BP = PA = AQ = QC = y, temos que (imagem em anexo):

1) ABC obrigatoriamente é isósceles. Pela construção solicitada, APQ também é isósceles e o ângulo B é igual ao ângulo C e o lado AC = AB = b
 
2) PQ = 2z (é o que queremos saber)
 
3) a = 2y + 2z ⇒ y = a/2 - z
 
4) A altura h do triângulo ABC é igual à altura do triângulo APQ e é o cateto dos triângulo retângulos AMQ e AMC.

Temos, por Pitágoras:

AC² = AM² + MC²
b² = h² + (z + y)²
b² = h² + (a/2)²
h² = b² - a²/4
 
AQ² = AM² + MQ²
y² = h² + z²
h² = y² - z²
 
Igualando as equações acima e substituindo y = a/2 - z, temos:

b² - a²/4 = (a/2 - z)² - z²
b² - a²/4 = a²/4 - 2.(a/2).z + z² - z²
b² - 2a²/4 = - az
az = a²/2 - b²
z = a²/2a - b²/a
z = (a² - 2b²)/2a
 
Queremos PQ = 2z = 2.(a² - 2b²)/2a = (a² - 2b²)/a
 
Alternativa E.